对程序包faraway中的exa数据进行多项式回归分析，取多项式的阶数为d=1,…,20,根据式(4.7)编写程序，给出计算时间和绘制CV误差图，并与LOOCV方法和GCV方法进行比较，对结果进行分析.

在进行多项式回归分析时，你需要首先导入`faraway`数据集，这通常是一个包含在统计分析库（如Python的`statsmodels`或R语言中的`faraway`包）中的示例数据集。对于这个任务，我们需要按照以下步骤操作：

1. 导入库和数据：

   import numpy as np
   import pandas as pd
   from sklearn.model_selection import train_test_split
   from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
   from sklearn.linear_model import LinearRegression
   from sklearn.metrics import mean_squared_error, cross_val_score
   from scipy.stats import gmean
   import matplotlib.pyplot as plt

   # 假设data是来自faraway包的数据
   data = pd.read_csv('path/to/faraway/data.csv')  # 替换为实际文件路径

2. 数据预处理（假设`x`是特征列，`y`是目标变量）：

   X = data[['x']].values
   y = data['y'].values
   X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

3. 计算多项式回归：

   polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=range(1, 21))
   X_poly = polynomial_features.fit_transform(X_train)

   models = {}
   for d in range(1, 21):
       model = LinearRegression()
       model.fit(X_poly[:, :d], y_train)
       models[d] = model

4. CV误差计算：
- K折交叉验证 (k-LOOCV):

     cv_scores_kloocv = []
     for d in range(1, 21):
         cv_scores = cross_val_score(models[d], X_poly[:, :d], y_train, cv=k, scoring='neg_mean_squared_error')
         cv_scores_kloocv.append(-np.mean(cv_scores))  # 负值是因为我们要最小化MSE

- 核估计交叉验证 (GCV)：

     cv_scores_gcv = []
     for d in range(1, 21):
         gcv_scores = [gmean(np.abs(mean_squared_error(model.predict(polynomial_features.transform(X_test)), y_test))) for model in models.values()]
         cv_scores_gcv.append(np.min(gcv_scores))  # 使用GCV得分最低点作为评估指标

5. 绘制CV误差图：

   fig, ax = plt.subplots()
   ax.plot(range(1, 21), cv_scores_kloocv, label='K-LOOCV')
   ax.plot(range(1, 21), cv_scores_gcv, label='GCV')
   ax.set_xlabel('Polynomial Degree')
   ax.set_ylabel('Cross-Validation Error')
   ax.legend()
   plt.show()

6. 结果分析：
- 分析曲线的趋势，查看在哪些多项式阶数下误差开始上升，这可能是模型过拟合的迹象。
- 比较K-LOOCV和GCV方法的结果，如果它们在某个阶数相近，则选择那个阶数作为最优模型，因为它们都试图平衡训练误差和泛化能力。