3.设曲线y=5x3+2x²-3x。 (1)求曲线的单调区间及极值点。 (2)求曲线的凹凸区间及拐点。 用Jupyter写

对于给定的曲线 \( y = 5x^3 + 2x^2 - 3x \)，我们可以通过对函数的一阶导数和二阶导数进行分析来找出其单调性、极值点、凹凸区间以及拐点。

(1) 求曲线的单调区间及极值点：
一阶导数 \( f'(x) \) 描述了函数的斜率变化，即：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 + 2x^2 - 3x) = 15x^2 + 4x - 3 \]

将 \( f'(x) = 0 \) 解方程找到临界点，即可能是极值点的位置：
\[ 15x^2 + 4x - 3 = 0 \]

解这个二次方程可以得到 x 的值。然后我们将这些值代入原函数 \( f(x) \) 来判断它们附近的增减情况。一般地，当 \( f'(x) > 0 \) 时，函数递增；\( f'(x) < 0 \) 时，函数递减。在临界点处（包括左右两侧），我们可以比较 \( f''(x) \) 的符号来确定极大值还是极小值。

(2) 求曲线的凹凸区间及拐点：
二阶导数 \( f''(x) \) 描述了函数曲率的变化，即：
\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(5x^3 + 2x^2 - 3x) = 30x + 4 \]

当 \( f''(x) > 0 \)，函数上凸；\( f''(x) < 0 \)，函数下凹。拐点就是 \( f''(x) = 0 \) 的解。在找到拐点之后，结合一阶导数的结果，我们可以确定整个函数的凹凸区间。

在Jupyter Notebook中，你可以这样做：

from sympy import symbols, diff, solve

# 定义变量
x = symbols('x')

# 函数定义
f = 5*x**3 + 2*x**2 - 3*x

# 一阶导数
f_prime = diff(f, x)
critical_points = solve(f_prime, x)

# 二阶导数
f_double_prime = diff(f_prime, x)

# 求单调区间和极值点
monotonicity = [(x, 'increasing') if f_prime.subs(x, point) > 0 else (x, 'decreasing')
                for point in critical_points]
extrema_values = [(point, f.subs(x, point)) for point in critical_points]

# 求凹凸区间和拐点
inflection_points = solve(f_double_prime, x)
convexity_intervals = [(interval, 'convex') if f_double_prime.subs(x, point) > 0 else (interval, 'concave')
                      for interval, point in zip(critical_points, inflection_points)]

# 输出结果
print("单调区间及极值点：", monotonicity, "极值点：", extrema_values)
print("凹凸区间及拐点：", convexity_intervals)

请注意，以上代码需要安装`sympy`库才能运行，并且实际计算会涉及到一些符号计算和数值近似。在Jupyter环境中，你可以直接运行上述代码并查看结果。