对log10(||x-c||)在x=a处进行一阶泰勒展开
时间: 2023-11-23 15:54:36 浏览: 33
对于函数$f(x)=\log_{10}(\left\|x-c\right\|)$,在$x=a$处进行一阶泰勒展开,可以得到以下公式:
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)$$
其中$f(a)=\log_{10}(\left\|a-c\right\|)$,$f'(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的导数,即:
$$f'(a)=\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\left\|a-c\right\|}\cdot\frac{a-c}{\left\|a-c\right\|}$$
因此,对于$log_{10}(\left\|x-c\right\|)$在$x=a$处进行一阶泰勒展开,可以得到以下公式:
$$\log_{10}(\left\|x-c\right\|)=\log_{10}(\left\|a-c\right\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\left\|a-c\right\|}\cdot\frac{(x-c)\cdot(a-c)}{\left\|a-c\right\|}+o(x-a)$$
相关问题
对f(x)=log10(||x-c||)在x=a处进行一阶泰勒展开
根据泰勒公式,对于函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒展开式为:$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)$$
其中,$f'(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的一阶导数,$o(x-a)$表示当$x$趋近于$a$时,$o(x-a)$的阶数高于$(x-a)$。
对于$f(x)=log_{10}(\|x-c\|)$,我们需要先求出$f(x)$在$x=a$处的一阶导数$f'(a)$,然后代入泰勒公式即可。
首先,根据链式法则,有:
$$f'(x)=\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\|x-c\|}\cdot\frac{x-c}{\|x-c\|}$$
将$x=a$代入上式,得到:
$$f'(a)=\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\|a-c\|}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}$$
将$f(a)$和$f'(a)$代入泰勒公式,得到:
$$f(x)=log_{10}(\|a-c\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\|a-c\|}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}\cdot(x-a)+o(x-a)$$
化简可得:
$$f(x)=log_{10}(\|a-c\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}\cdot\frac{x-a}{\|a-c\|}+o(x-a)$$
因此,对$f(x)=log10(||x-c||)$在$x=a$处进行一阶泰勒展开式为:$$f(x)=log_{10}(\|a-c\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}\cdot\frac{x-a}{\|a-c\|}+o(x-a)$$
f(x)=log10(||x-xc||)在x1处的一阶泰勒展开怎么表示
根据一阶泰勒展开的公式,可以得到f(x)在x1处的一阶泰勒展开式为:
f(x) ≈ f(x1) + ∇f(x1)·(x-x1)
其中,f(x1)表示f(x)在x1处的函数值,∇f(x1)表示f(x)在x1处的梯度向量,即:
∇f(x1) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)|x=x1
对于f(x)=log10(||x-xc||),可以先求出梯度向量:
∇f(x) = (1/ln(10) * (x1-xc)/||x-xc||, 1/ln(10) * (x2-xc)/||x-xc||, ..., 1/ln(10) * (xn-xc)/||x-xc||)
然后在x1处代入上述公式即可得到一阶泰勒展开式:
f(x) ≈ f(x1) + (1/ln(10) * (x1-xc)/||x-xc||)·(x1-x1) + ∑i=2n (1/ln(10) * (xi-xc)/||x-xc||)·(xi-x1)
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