matlab共轭梯度法程序

这是一个使用Matlab实现共轭梯度法求解线性方程组的程序。共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解大型稀疏线性方程组。它的优点是收敛速度快，内存占用少，适用于大规模问题。该程序包括三个部分：主函数、建立方程组系数矩阵及右端项的函数和共轭梯度法的迭代求解函数。主函数调用建立方程组系数矩阵及右端项的函数和共轭梯度法的迭代求解函数，最终输出共轭梯度法迭代误差变化曲线。具体实现细节可以参考引用中的代码。

相关问题

matlab共轭梯度法PRP

### MATLAB 中实现共轭梯度法 PRP 的示例代码

#### 示例代码解释
下面展示了如何在MATLAB中实现Polak-Ribière-Polyak (PRP) 共轭梯度算法。此方法是一种非线性共轭梯度法，广泛用于求解无约束最优化问题。

function [x, fval] = prp_cg(f, grad_f, x0, max_iter, tol)
% 输入参数说明：
% f: 目标函数句柄
% grad_f: 目标函数的梯度句柄
% x0: 初始猜测点
% max_iter: 最大迭代次数
% tol: 收敛公差
    
    % 初始化变量
    n = length(x0);
    x = x0;
    g = grad_f(x);  % 计算初始梯度
    d = -g;         % 设置初始搜索方向为负梯度方向
    k = 0;

    while norm(g) > tol && k < max_iter
        % 使用 Wolfe 条件进行一维搜索来找到步长 alpha
        alpha = line_search_wolfe(f, grad_f, x, d);

        % 更新位置和梯度
        x_new = x + alpha * d;
        g_new = grad_f(x_new);

        % Polak-Ribière-Polyak 参数 beta_k+1 的计算
        beta_prp = dot(g_new - g, g_new) / dot(g, g);
        
        % 如果beta小于零，则设置d=-g；否则按照公式更新d
        if isnan(beta_prp) || isinf(beta_prp) || beta_prp < 0
            d = -g_new;
        else
            d = -g_new + beta_prp * d;
        end
        
        % 准备下一轮循环
        x = x_new;
        g = g_new;
        k = k + 1;
    end
    
    fval = f(x);
end

function alpha = line_search_wolfe(f, grad_f, x, p)
    c1 = 1e-4;
    c2 = 0.9;
    alpha_max = 1;
    
    phi_0 = f(x);
    der_phi_0 = dot(grad_f(x), p);
    
    alpha = min(1.0, abs(der_phi_0));
    phi_alpha = @(a) f(x + a*p);
    der_phi_alpha = @(a) dot(grad_f(x+a*p), p);
    
    while phi_alpha(alpha) > phi_0 + c1*alpha*der_phi_0 ...
          || der_phi_alpha(alpha) < c2*der_phi_0
        alpha = alpha/2;
        if alpha <= eps
            error('Line search failed');
        end
    end
end

这段代码实现了完整的PRP共轭梯度算法，并包含了Wolfe条件下的直线搜索子程序[^2]。该算法接受目标函数`f`及其梯度`grad_f`作为输入，并返回最优解`x`以及对应的最小化后的函数值`fval`。

运用Matlab编程共轭梯度法的程序

以下是用Matlab编写的共轭梯度法程序示例：

function [x, iter] = cg(A, b, x0, tol, maxiter)
% 共轭梯度法求解Ax=b
% A: 系数矩阵
% b: 右端向量
% x0: 初始解向量
% tol: 精度要求
% maxiter: 最大迭代次数

r = b - A*x0; % 初始残差
p = r; % 初始搜索方向
x = x0; % 初始解向量
iter = 0; % 初始迭代次数

while iter < maxiter
    Ap = A*p;
    alpha = (r'*r) / (p'*Ap);
    x = x + alpha*p;
    r_new = r - alpha*Ap;
    if norm(r_new) < tol % 达到精度要求
        break;
    end
    beta = (r_new'*r_new) / (r'*r);
    p = r_new + beta*p;
    r = r_new;
    iter = iter + 1;
end

end

使用示例：

A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [10; 10; 10];
x0 = [0; 0; 0];
tol = 1e-6;
maxiter = 100;

[x, iter] = cg(A, b, x0, tol, maxiter);

disp(['解向量x = [', num2str(x'), ']']);
disp(['迭代次数：', num2str(iter)]);

其中，A为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始解向量，tol为精度要求，maxiter为最大迭代次数。执行结果会输出解向量和迭代次数。