最小二乘蒙特卡洛模拟法测算可转债价值

### 使用最小二乘蒙特卡洛方法计算可转换债券价值

#### 方法概述
最小二乘蒙特卡洛（Least Squares Monte Carlo, LSMC）是一种用于评估具有提前赎回权或其他路径依赖特征金融工具的方法。对于可转换债券而言，该方法能够处理其复杂的嵌入期权特性。

LSMC的核心在于通过随机抽样生成标的资产价格路径，并利用回归分析估计继续持有或行使期权之间的差异。具体来说，在每个时间步上，算法会比较立即执行期权获得收益与预期未来现金流折现值，从而决定最优策略[^1]。

#### 实现步骤说明
为了简化描述而不失一般性，假设存在一个简单的离散模型：

- 设定参数：初始股票价格 \( S_0 \)，波动率 σ ，无风险利率 r ，股息收益率 q ，到期日 T 和转股价 K 。
- 构建网格结构的时间轴 t_i （i=0,...,N），其中 N 表示总期数。
- 对每条模拟路径 j (j=1,...,M)，按照几何布朗运动方程迭代更新股票价格序列 {S_{ij}} ：\[ dS_t = μS_tdT + σS_tdW_t \]

接下来应用最小二乘技术拟合多项式函数 f(t,S) 来近似内在价值 V(S,t)=max{K-S,0} 。当到达某个特定时刻 i* 时，如果预测得到的期望回报小于当前即刻行权所能获取的利益，则认为此时应该选择行权；反之则保持现状直到下一个决策点到来为止。

最后一步是对所有可能的状态取平均值得到最终估值结果 E[V(T)]/exp(-rT)

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def lsmc_valuation(spot_price, strike_price, maturity, risk_free_rate,
                   volatility, dividend_yield, num_steps, num_paths):

    dt = maturity / num_steps
    
    # Generate stock price paths using geometric Brownian motion.
    z = np.random.normal(size=(num_steps + 1, num_paths))
    s = spot_price * np.exp(np.cumsum((risk_free_rate - dividend_yield -
                                       0.5 * volatility ** 2) *
                                      dt + volatility * np.sqrt(dt) * z, axis=0))

    # Initialize payoff array with terminal payoffs at expiration date.
    payoff = np.maximum(strike_price -1], 0)

    for step in range(num_steps - 1, -1, -1):
        # Fit polynomial regression model to approximate continuation value.
        cont_value = np.polyval(np.polyfit(s[step], payoff, deg=2), s[step])

        # Determine whether early exercise is optimal based on comparison between intrinsic values and expected future cash flows discounted back to present time.
        payoff = np.where(cont_value > strike_price - s[step],
                          payoff * np.exp(risk_free_rate * dt),
                          strike_price - s[step])
    
    return np.mean(payoff) * np.exp(-risk_free_rate * maturity)


if __name__ == "__main__":
    result = lsmc_valuation(100., 98., 3./12, .05, .2, .02, 50, 1e4)
    print(f"The estimated convertible bond value via Least Square Monte Carlo method is ${result:.4f}")

此代码片段实现了上述提到的过程并给出了具体的数值例子来进行验证测试。