为啥归并排序比较次数与初始状态无关

归并排序的时间复杂度是O(n log n)，其中“n”是待排序数组的长度。它的比较次数之所以与数组的初始状态无关，是因为它采用了一种分治策略。

归并排序的过程可以分为两个步骤：

1. 分治阶段：首先将数组划分为两半，然后对每一半递归地进行归并排序，直到每个子数组只有一个元素，这一步骤是递归的基础，独立于数组的具体顺序。

2. 合并阶段：将已排序的子数组合并成一个完整的有序数组。这是通过比较两个子数组的第一个元素，选择较小的一个放入结果数组，并移动对应的指针到下一个元素，这个过程会一直持续到所有的元素都被处理完。

由于每次划分都是平均的，所以无论原始数组如何排列，每层递归所需的比较次数是恒定的。而且，合并操作也是稳定的，不会因为原始序列的不同而改变需要的比较次数。因此，总的比较次数就是log n层递归乘以每层固定的比较次数，最终得到了与输入大小相关的固定次数，即O(n log n)。

相关问题

归并排序c++代码实现比较次数与移动次数

归并排序的比较次数和移动次数与具体实现有关，以下是一种简单的C++实现，给出比较次数和移动次数的计算方法。

void merge_sort(int arr[], int l, int r, int& cmp_cnt, int& mov_cnt) {
    if (l >= r) return;
    int mid = l + (r - l) / 2;
    merge_sort(arr, l, mid, cmp_cnt, mov_cnt);
    merge_sort(arr, mid + 1, r, cmp_cnt, mov_cnt);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    int* tmp = new int[r - l + 1];
    while (i <= mid && j <= r) {
        cmp_cnt++;
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            tmp[k++] = arr[i++];
        } else {
            tmp[k++] = arr[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = arr[i++];
    }
    while (j <= r) {
        tmp[k++] = arr[j++];
    }
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        mov_cnt++;
        arr[l + i] = tmp[i];
    }
    delete[] tmp;
}

int main() {
    int arr[] = {5, 4, 3, 2, 1};
    int cmp_cnt = 0, mov_cnt = 0;
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    merge_sort(arr, 0, n - 1, cmp_cnt, mov_cnt);
    cout << "比较次数：" << cmp_cnt << endl;
    cout << "移动次数：" << mov_cnt << endl;
    return 0;
}

以上代码中，cmp_cnt为比较次数，mov_cnt为移动次数。在归并排序中，每次比较会增加一次cmp_cnt，每次移动会增加一次mov_cnt。在最坏情况下，即数组完全逆序，比较次数为nlogn，移动次数为2nlogn。在平均情况下，比较次数为nlogn，移动次数为nlogn。

二路归并排序最少比较次数

二路归并排序算法是一种基于分治策略的排序方法。其基本思想是将已有的待排序数列划分为若干个子序列，每个子序列单独排序，然后将有序子序列合并成最终的排序序列。

对于一个含有n个元素的数组，二路归并排序在最优情况下（即每次合并操作都能平分数组）的比较次数可以通过递归公式计算得出。具体来说，归并排序在将数组分成两半时，每部分都会进行递归排序，然后合并这两个有序部分。

对于一个长度为n的数组，最优情况下的比较次数C(n)满足以下递推关系：
- C(1) = 0 （1个元素自然有序，不需要比较）
- C(n) = 2C(n/2) + n - 1 （每次合并需要n-1次比较）

因此，通过递归或者迭代方法可以计算出具体的比较次数。

例如，对于长度为8的数组：
- 分割成两个长度为4的数组，需要C(4)次比较；
- 分割成四个长度为2的数组，需要C(2)次比较；
- 分割成八个长度为1的数组，需要C(1)次比较；
- 然后是合并操作，每次合并增加n-1次比较。

最终，可以得出对于长度为n的数组，二路归并排序的最少比较次数为：
C(n) = 2C(n/2) + n - 1

递归计算C(n)可以得到具体的比较次数。