设积分区间为[-1,1] ，取f(x)=1,x,x^2,x^3,x^4,x^5 时,分别用matlab编程实现利用梯形公式、中矩形公式、Simpson公式和Guass-Legendre公式(取 )计算在-1到1上f(x)积分 的结果，并与精确值进行比较(列表，保留5位有效数字).

在MATLAB中，我们可以使用内置函数`quad`来得到函数的精确积分，然后结合梯形公式（Trapezoidal rule）、中矩形公式（Midpoint rule）、辛普森法则（Simpson's rule），以及高斯-列维定理（Gauss-Legendre quadrature）来近似积分。以下是对应的MATLAB代码示例：

% 函数f(x)
f = @(x) [ones(size(x)), x, x.^2, x.^3, x.^4, x.^5];

% 定义积分区间
a = -1;
b = 1;

% 准确积分值
exact_integral = quad(f, a, b);

% 精度设置
precision = 5;

% 使用各种积分公式计算近似值
% 梯形公式 (n=1)
trapezoid_rule_n1 = (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2;
trapezoid_result = num2str(trapezoid_rule_n1, '%.5f');

% 中矩形公式 (n=1)
midpoint_rule_n1 = (b - a) * f(mean([a, b])); % 对于连续函数，n=1等同于原点法
midpoint_result = num2str(midpoint_rule_n1, '%.5f');

% 辛普森法则 (n=2)
simplified_simpson_rule = (b - a) / 6 * (f(a) + 4*f(mean([a:(2/b):b])) + f(b));
simpson_result = num2str(simplified_simpson_rule, '%.5f');

% 高斯-列维定理 (n=4, 采用MATLAB的内建函数，实际应用时应选择更高级别的节点数)
gauss_legendre_nodes = roots(@(x) legendre_poly(4, x)); % 获取4阶Legendre多项式根
gauss_weights = pchipnodes(gauss_legendre_nodes, [a, b]); % 计算权重
gauss_legendre_integral = sum(f(gauss_legendre_nodes) .* gauss_weights);
gl_result = num2str(gauss_legendre_integral, '%.5f');

% 输出结果并对比精确值
fprintf('精确积分值：%.5f\n', exact_integral);
fprintf('梯形公式（n=1）：%-20s 结果：%s\n', 'Trapezoidal', trapezoid_result);
fprintf('中矩形公式（n=1）：%-20s 结果：%s\n', 'Midpoint', midpoint_result);
fprintf('辛普森法则（n=2）：%-20s 结果：%s\n', 'Simpson', simpson_result);
fprintf('高斯-列维定理（n=4）：%-20s 结果：%s\n', 'Gauss-Legendre', gl_result);

注意：在这个例子中，我们假设`legendre_poly`是自定义的一个函数，用于生成给定阶数的Legendre多项式的系数。在实际操作中，你需要从外部引入这个函数，或者用MATLAB自带的`legendre`函数来生成。