kmp算法的正确性证明

KMP算法的正确性证明可以通过数学归纳法来进行。下面是证明的步骤：

1. 基本情况：当模式串为空时，任何字符串都可以匹配成功，所以KMP算法是正确的。

2. 假设在长度为n的文本串T中，已经找到了一个位置i，使得T[i-n+1...i]与模式串P[1...n]匹配。我们要证明，如果T[i+1]与P[n+1]不匹配，那么存在一个位置j，使得T[j-n+1...j]与P[1...n]匹配，并且j > i。

3. 根据KMP算法的思想，当T[i+1]与P[n+1]不匹配时，我们需要找到一个位置k，使得T[i-k+1...i]与P[1...k]匹配，并且k < n。这是因为，如果T[i-k+1...i]与P[1...k]匹配，那么T[i-k+1...i]与P[1...n]的前k个字符也是匹配的。

4. 假设在位置i-k+1到i之间存在一个位置m，使得T[m-k+1...m]与P[1...k]匹配，并且m > i。根据KMP算法的定义，我们可以得到π[k] = m-k+1。

5. 现在我们要证明，如果T[i+1]与P[n+1]不匹配，那么存在一个位置j，使得T[j-n+1...j]与P[1...n]匹配，并且j > i。根据KMP算法的定义，我们有π[n] = j-n+1。

6. 根据假设，我们知道T[i-k+1...i]与P[1...k]匹配，所以T[i-k+1...i]与P[1...n]的前k个字符也是匹配的。根据π[k] = m-k+1，我们可以得到T[m-k+1...m]与P[1...n]的前k个字符也是匹配的。

7. 因为T[m-k+1...m]与P[1...n]的前k个字符是匹配的，所以T[m-k+1...m]与P[1...n]也是匹配的。根据π[n] = j-n+1，我们可以得到T[j-n+1...j]与P[1...n]也是匹配的。

8. 综上所述，如果T[i+1]与P[n+1]不匹配，那么存在一个位置j，使得T[j-n+1...j]与P[1...n]匹配，并且j > i。

根据上述证明，我们可以得出结论：如果在文本串T中找到了一个位置i，使得T[i-n+1...i]与模式串P[1...n]匹配，那么KMP算法可以正确地找到所有的匹配位置。