x的三分之一次方泰勒展开
时间: 2024-06-13 21:07:03 浏览: 12
根据泰勒展开公式,可得函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开式为:
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!(x-a)^2+...+fⁿ(a)/n!(x-a)^n
其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数,f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数,fⁿ(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
对于x的三分之一次方,我们可以将其表示为x^(1/3),然后在x=0处进行泰勒展开,即a=0,n=2,得到:
x^(1/3)≈f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2
由于f(x)=x^(1/3),所以:
f(0)=0
f'(x)=(1/3)x^(-2/3)
f''(x)=(-2/9)x^(-5/3)
将上述导数代入泰勒展开式中,得到:
x^(1/3)≈0+(1/3)x+(-2/9)/2!x^2
化简后可得:
x^(1/3)≈(1/3)x-(1/27)x^2
相关问题
x的四分之一次方泰勒展开
根据泰勒公式,函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开式为:
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)$$
其中$f^{(k)}(a)$表示f(x)在x=a处的k阶导数,$R_n(x)$为余项,即:
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
其中$\xi$在$a$和$x$之间。
将$f(x)=x^{\frac{1}{4}}$,$a=1$,$n=0$代入上式,得到:
$$x^{\frac{1}{4}}=f(1)+f'(1)(x-1)+R_0(x)$$
其中$f(1)=1$,$f'(1)=\frac{1}{4}$,$R_0(x)$为余项,即:
$$R_0(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-1)^2$$
其中$\xi$在$1$和$x$之间。
因此,$x$的四分之一次方泰勒展开为:
$$x^{\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{4}(x-1)+\frac{f''(\xi)}{2!}(x-1)^2$$
arccosx泰勒展开
根据泰勒公式,对于函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处展开,有:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$
其中 $f^{(n)}(x_0)$ 表示 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶导数。
对于 $f(x)=\arccos x$,我们可以先求出它在 $x=0$ 处的泰勒展开式。由于 $\arccos x$ 在 $x=0$ 处的导数为 $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,因此有:
$$
\begin{aligned}
\arccos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\frac{1}{\sqrt{1-0^2}}x^{2n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
\end{aligned}
$$
因此,$\arccos x$ 的泰勒展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$。
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