用泰勒展开求x^3+4x-6
时间: 2024-05-26 17:16:10 浏览: 15
首先,我们需要选择一个点来展开泰勒级数。让我们选择点为 $a=0$,则有:
$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots
$$
现在,我们需要计算 $f(x)$ 的前三个导数在 $x=0$ 时的值:
$$
f(x) = x^3 + 4x - 6 \\
f'(x) = 3x^2 + 4 \\
f''(x) = 6x \\
f'''(x) = 6
$$
将这些导数代入泰勒级数公式中,得到:
$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \\
= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \\
= -6 + 4x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \cdots \\
= -6 + 4x + 1x^3 + \cdots
$$
因此,$f(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $-6+4x+x^3+\cdots$。
相关问题
P(x)=4x^4 + 5x^2 +3x + 10,计算P(2)的相对误差限
首先,我们可以直接计算 P(2) 的值:
P(2) = 4×2^4 + 5×2^2 + 3×2 + 10 = 82
接下来,我们需要计算 P(2) 的相对误差,公式为:
ε = |(P(2) - P*(2)) / P(2)|
其中,P*(2) 是 P(2) 的近似值,我们可以使用泰勒级数展开式来近似计算,具体步骤如下:
1. 将 P(x) 在 x=2 处进行泰勒展开,得到:
P(x) = P(2) + P'(2)×(x-2) + P''(2)/2×(x-2)^2 + P'''(c)/6×(x-2)^3
其中,c 是 x 和 2 之间的某个值。将 P(x) 中的 x 替换为 2,得到:
P(2) = P(2) + P'(2)×0 + P''(2)/2×0^2 + P'''(c)/6×0^3
化简可得:
P*(2) = P(2) + P''(c)/2×(x-2)^2
2. 计算 P''(x) 和 P'''(x):
P''(x) = 24x^2 + 10
P'''(x) = 48x
3. 将 P''(x) 和 P'''(x) 分别带入 P*(2) 的公式中,得到:
P*(2) = P(2) + [24×c^2 + 10]/2×(2-c)^2
4. 计算 P*(2) 的值:
当 c 取 1.99 时,P*(2) 的值最小,此时:
P*(2) = P(2) + [24×1.99^2 + 10]/2×(2-1.99)^2 = 82.08
因此,P(2) 的相对误差为:
ε = |(P(2) - P*(2)) / P(2)| = |(82 - 82.08) / 82| ≈ 0.00098
因此,P(2) 的相对误差限约为 0.098%。
求函数 f (x) ln(1 x) 和 g(x)=ln(1+x)/(1-x) 在 x 0 处的泰勒展开式,并用这两个泰勒展开式分别计算ln 2 ,ln3的近似值,在精度为10^(-6)的情况下,哪一个比较好?
函数 f(x) = ln(1+x) 在 x=0 处的泰勒展开式为:
f(x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
将 x = 1 得到:
ln 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... ≈ 0.693147
函数 g(x) = ln(1+x)/(1-x) 在 x=0 处的泰勒展开式为:
g(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ...
将 x = 1 得到:
ln 3 = 1 + 2/3 + 3/9 + 4/27 + ... ≈ 1.098612
在精度为10^(-6)的情况下,我们需要保留到小数点后第7位才算满足要求。从计算结果来看,f(x) 的近似值比较好,因为它的误差更小。
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