请写出如下热传导方程的差分格式，并给出差分格式的误差及稳定条件： ut＝uxx 0＜x＜1，T＞t＞0 , u（x，0）＝4x（1-x）, u(0, t)＝φ(t), u(1, t)＝ψ（t）

我们可以采用显式差分法（即向前差分）来离散化热传导方程，具体如下：

将区间 [0,1] 均匀地划分成 N 个小区间，步长为 h = 1/N。令 u(x, t) 的数值近似值为 uni，其中 i = 0, 1, ..., N，n 表示时间步数。

则有

un+1i = uni + r(uni-1 - 2uni + uni+1)

其中，r = kΔt/h^2，Δt 为时间步长，k 为热扩散系数。

初值条件为 u(x, 0) = 4x(1-x)，即

ui0 = 4i/N(1 - i/N)

边界条件为 u(0, t) = φ(t) 和 u(1, t) = ψ(t)，即

u0n = φ(nΔt)

uNn = ψ(nΔt)

误差：

可以通过泰勒展开来推导差分格式的误差。具体地，我们可以将 u(x, t) 和 uni 分别表示为它们的精确解和数值解，然后将它们在 (xi, tn) 处展开成泰勒级数，最后对比得到：

|un+1i - u(xi, tn+Δt)| = O(Δt + h^2)

稳定条件：

为了保证差分格式的稳定性，我们需要满足 CFL 条件，即

rΔt/h^2 ≤ 1/2

其中，r = kΔt/h^2。该条件保证了信息不能以超过一个网格间隔的速度传播。

相关问题

考虑热方程 ut = uxx + yy, 在单位平方上0 < x < 1,0 < y < 1,且齐次dirichlet边

热方程是一个描述物质内部温度分布随时间变化的偏微分方程。考虑到该热方程具有特定的边界条件，即齐次Dirichlet边界条件。在单位平方上的区域0 < x < 1，0 < y < 1，意味着我们在一个正方形区域内研究热方程。齐次Dirichlet边界条件表示在边界上温度是已知的且固定的。

该问题的数学形式为 ut = uxx + uyy，其中u为函数，t为时间，x和y为空间变量。我们希望确定在给定的初始条件下，也即t = 0时刻，热方程在单位平方上的解。

根据齐次Dirichlet边界条件，我们已知在边界上的温度。这意味着在研究区域边界上，我们可以直接将边界点（x=0或x=1和y=0或y=1）的温度值代入问题。对于内部点，我们需要通过求解偏微分方程来获得温度。

我们可以利用分离变量法来求解该热方程。假设解u可以写成一个时间部分和一个空间部分的乘积，即u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)。通过将此解代入原方程，我们可以将方程分离为三个常微分方程，分别为：

T'(t)/T(t) = X''(x)/X(x) + Y''(y)/Y(y)

由于等式左边只是关于t的函数，右边只是关于x和y的函数，所以它们必须等于一个常数。通过分别解决这些常微分方程，我们可以得到X(x)，Y(y)和T(t)的形式。

再根据边界条件，我们可以利用齐次Dirichlet边界条件将该问题转化为一个特征值问题，即解出一个固有值和对应的特征函数。通过求解这个固有值问题，我们可以得到一系列特征值和特征函数。

最后，将这些特征函数进行线性组合，根据初始条件，我们可以确定在给定时间t时刻单位平方上的温度分布。

总的来说，考虑热方程ut = uxx + uyy，在单位平方上0 < x < 1,0 < y < 1，且齐次Dirichlet边界条件，我们可以通过分离变量法求解该方程。通过固有值问题求解特征值和特征函数，并根据初始条件确定时间t时刻单位平方上的温度分布。

一维非齐次热传导方程ut-a^2uxx+cu=f，f<=0，举出c(x,t)<0时，u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值不成立的例子

考虑以下例子：

取Q=[0,1]×[0,∞)，a=1，c(x,t)=-1，f=-1。

设u(x,t)=exp(-t)sin(πx)。则有：

- u满足初始条件u(x,0)=0；
- u满足边界条件u(0,t)=u(1,t)=0；
- u满足非齐次热传导方程ut-a^2uxx+cu=f。

可以验证f<=0，c(x,t)<0，但是u在Q内的最大值为exp(1) > 1，而u的正部在Q的抛物边界的最大值为1。因此，最大值原理不成立。

这个例子说明了当c(x,t)<0时，最大值原理不一定成立。