矩形脉冲信号与连续波相乘傅里叶变换

假设矩形脉冲信号为 $f(t)$，连续波为 $g(t)$，则它们的乘积为：

$$h(t) = f(t)g(t)$$

根据卷积定理，$h(t)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$ 和 $G(\omega)$ 的卷积：

$$H(\omega) = F(\omega) * G(\omega)$$

其中，$F(\omega)$ 和 $G(\omega)$ 的表达式为：

$$F(\omega) = \frac{2\pi}{T} \left[\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega/2}\right]^2 e^{-j\omega T/2}$$

$$G(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-j\omega t}dt$$

根据卷积定理，$H(\omega)$ 的表达式为：

$$H(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega - \omega') G(\omega') d\omega'$$

将 $F(\omega)$ 和 $G(\omega)$ 的表达式代入上式，得到：

$$H(\omega) = \frac{1}{T} \left[\frac{\sin((\omega-\omega')T/2)}{(\omega-\omega')/2}\right]^2 G(\omega') e^{-j(\omega-\omega')T/2} d\omega'$$

上式中，$\omega' = \omega - m\omega_0$，其中 $\omega_0 = 2\pi/T$ 是信号的基频率，$m$ 是任意整数。因此，$H(\omega)$ 是 $\omega$ 的周期函数，其周期为 $\omega_0$。在频率域内，$H(\omega)$ 的幅度谱为矩形脉冲的频率响应，即：

$$|H(\omega)| = \frac{1}{T} \left[\frac{\sin((\omega-\omega')T/2)}{(\omega-\omega')/2}\right]^2 |G(\omega')|$$

其中，$|G(\omega')|$ 是连续波的幅度谱。在时域内，$H(\omega)$ 的实部和虚部分别为：

$$\operatorname{Re}\{H(t)\} = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) g(t-nT) \cos(\omega_0 n t)$$

$$\operatorname{Im}\{H(t)\} = -\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) g(t-nT) \sin(\omega_0 n t)$$

其中，$\cos(\omega_0 n t)$ 和 $\sin(\omega_0 n t)$ 分别是正弦波和余弦波的基本频率为 $\omega_0 n$ 的分量。这些分量组合在一起，形成了 $H(t)$ 的时域波形。