矩形脉冲信号与连续波相乘傅里叶变换

时间: 2023-05-28 15:04:43 浏览: 113
假设矩形脉冲信号为 $f(t)$,连续波为 $g(t)$,则它们的乘积为: $$h(t) = f(t)g(t)$$ 根据卷积定理,$h(t)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$ 和 $G(\omega)$ 的卷积: $$H(\omega) = F(\omega) * G(\omega)$$ 其中,$F(\omega)$ 和 $G(\omega)$ 的表达式为: $$F(\omega) = \frac{2\pi}{T} \left[\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega/2}\right]^2 e^{-j\omega T/2}$$ $$G(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-j\omega t}dt$$ 根据卷积定理,$H(\omega)$ 的表达式为: $$H(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega - \omega') G(\omega') d\omega'$$ 将 $F(\omega)$ 和 $G(\omega)$ 的表达式代入上式,得到: $$H(\omega) = \frac{1}{T} \left[\frac{\sin((\omega-\omega')T/2)}{(\omega-\omega')/2}\right]^2 G(\omega') e^{-j(\omega-\omega')T/2} d\omega'$$ 上式中,$\omega' = \omega - m\omega_0$,其中 $\omega_0 = 2\pi/T$ 是信号的基频率,$m$ 是任意整数。因此,$H(\omega)$ 是 $\omega$ 的周期函数,其周期为 $\omega_0$。在频率域内,$H(\omega)$ 的幅度谱为矩形脉冲的频率响应,即: $$|H(\omega)| = \frac{1}{T} \left[\frac{\sin((\omega-\omega')T/2)}{(\omega-\omega')/2}\right]^2 |G(\omega')|$$ 其中,$|G(\omega')|$ 是连续波的幅度谱。在时域内,$H(\omega)$ 的实部和虚部分别为: $$\operatorname{Re}\{H(t)\} = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) g(t-nT) \cos(\omega_0 n t)$$ $$\operatorname{Im}\{H(t)\} = -\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) g(t-nT) \sin(\omega_0 n t)$$ 其中,$\cos(\omega_0 n t)$ 和 $\sin(\omega_0 n t)$ 分别是正弦波和余弦波的基本频率为 $\omega_0 n$ 的分量。这些分量组合在一起,形成了 $H(t)$ 的时域波形。

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