如何使用Fortran语言编写程序，通过割圆术计算圆周率π，并且用梯形公式和辛普森公式进行误差分析？请提供详细的代码示例。

割圆术是古代数学家用来计算圆周率π的方法，通过不断增加圆内接多边形的边数，从而逼近圆的真实面积。为了精确计算π并分析误差，可以采用数值积分方法，例如梯形公式和辛普森公式进行近似计算，并对比结果来评估精度。下面是使用Fortran语言实现割圆术计算π的详细步骤和代码示例：

参考资源链接：[Fortran算法实例：圆周率计算与割圆术应用](https://wenku.csdn.net/doc/1vh534ykun?spm=1055.2569.3001.10343)

1. 首先，我们需要定义多边形边长的递推关系，根据已知边长计算新的边长。
2. 接着，我们通过割圆术计算不同边数的多边形面积。
3. 使用梯形公式和辛普森公式对圆的面积进行近似计算。
4. 最后，比较两种方法的结果，并计算误差。

以下是一个简化的Fortran代码示例，展示如何通过割圆术计算圆周率π：

program calculate_pi
    implicit none
    integer, parameter :: nmax = 100000
    double precision :: a, b, c, perimeter, area, pi
    integer :: n

    ! 初始化边长a和边数n
    a = 1.0d0
    n = 3

    ! 割圆术迭代计算
    do while (n <= nmax)
        call calc_perimeter(n, a, perimeter)
        call calc_area(n, a, perimeter, area)
        pi = perimeter / area
        write(*, '(I5, A, F12.8)') n, '边形的圆周率估计值为:', pi
        ! 通过递推关系更新边长
        b = a
        c = (a + b) / 2.0d0
        a = sqrt(c * c - (c - a) * (c - a))
        n = n * 2
    end do
end program calculate_pi

subroutine calc_perimeter(n, a, perimeter)
    ! 计算正n边形的周长
    ! ...
end subroutine calc_perimeter

subroutine calc_area(n, a, perimeter, area)
    ! 根据割圆术计算面积，这里可以使用梯形公式或辛普森公式
    ! ...
end subroutine calc_area

在这个程序中，我们定义了一个主程序`calculate_pi`和两个子程序`calc_perimeter`和`calc_area`。`calc_perimeter`子程序负责计算多边形的周长，而`calc_area`子程序则根据割圆术和给定的面积公式计算多边形的面积。通过不断增加多边形的边数，我们可以得到越来越精确的π值。

为了进一步提高精度，可以采用梯形公式和辛普森公式来对圆的面积进行数值积分计算。这两种方法在数值分析中有广泛的应用，并且可以通过Fortran中的循环和条件判断来实现。

本问题涉及的Fortran算法编程技巧，建议读者深入阅读《Fortran算法实例：圆周率计算与割圆术应用》一书。书中不仅详细介绍了如何使用Fortran语言来编写计算圆周率π的程序，还包含了大量关于算法设计和实现的实用知识，为读者提供了一个完整的算法实例学习路径。通过实际编程实践和理论知识的学习，可以加深对Fortran在数值计算中应用的理解。

参考资源链接：[Fortran算法实例：圆周率计算与割圆术应用](https://wenku.csdn.net/doc/1vh534ykun?spm=1055.2569.3001.10343)