编写一个 MATLAB 脚本来验证 Parseval 定理

Parseval定理在信号处理领域非常重要，它表明在一个周期函数上积分其平方绝对值等于该函数傅立叶变换幅度谱的平方和。在MATLAB中验证这个定理，通常会涉及到离散傅立叶变换(DFT)的计算。

以下是一个简单的MATLAB脚本，用于验证 Parseval 定理：

% 定义一个示例周期信号
Fs = 1000; % 采样频率
T = 1/Fs; % 单位时间间隔
t = 0:Ts:1-Ts; % 时间向量
x = sin(2*pi*50*t); % 正弦波信号

% 计算信号的实部DFT和幅值谱
X_mag = abs(fft(x));
frequencies = (0:length(X_mag)-1)*Fs/length(x);

% 对应的直流分量（假设偶数长度信号）
X_mag_DC = X_mag(1);

% 根据 Parseval 定理，信号能量应该等于频谱能量（包括直流分量）
signal_energy = sum(x.^2);
spectral_energy = X_mag_DC^2 + sum(X_mag.^2);

% 验证定理是否成立
tolerance = 1e-6;
if abs(signal_energy - spectral_energy) < tolerance
    disp("Parseval定理验证通过!")
else
    disp("Parseval定理验证失败! 差距:", signal_energy - spectral_energy)
end

在这个脚本里，我们首先生成一个正弦波信号，然后计算它的DFT和对应的幅值谱。接着，我们根据 Parseval 定理将信号的能量（平方和）与频谱的能量进行比较，如果两者相差很小，则说明定理得到验证。