机器设计问题。某机器由n个部件组成,每一个部件可从m个供应商那里购得。设Wij是从供应商j那里购得的零件i的重量,Cij为该零件的成本。试设计一个回溯算法,给出总成本不超过c的最小重量机器设计,并分析算法的复杂度。
时间: 2023-08-31 14:30:30 浏览: 52
### 回答1:
这是一个经典的组合优化问题,可以使用回溯算法解决。具体步骤如下:
1. 定义一个变量cost,表示当前机器的成本;定义一个变量weight,表示当前机器的总重量。
2. 从第一个部件开始,遍历每个供应商,如果购买该部件的成本不超过剩余的成本限制c,就将该部件加入机器,同时更新cost和weight,并递归处理下一个部件。
3. 如果当前的机器成本超过了c,或者已经遍历完了所有部件,就记录当前机器的重量和成本,并回溯到上一个部件,继续遍历其他的供应商。
4. 遍历完所有的部件后,从记录的所有机器中选择总成本不超过c的最小重量机器。
算法的复杂度为O(nm^(n-1)),因为每个部件都有m个供应商可选,共有n个部件,所以总的搜索空间为m^n,但在实际情况中,很多机器方案都可以被排除,所以算法的实际运行时间取决于机器设计的具体情况。
### 回答2:
回溯算法是一种穷举搜索的算法,在解决机器设计问题时可以通过回溯算法找到总成本不超过c的最小重量机器设计。
具体算法如下:
1. 定义一个函数backtrack,参数包括当前正在选择的部件下标i、当前选择的供应商下标j、已选择的部件重量sum_weight、已选择的部件成本sum_cost以及总成本不超过c的标志cost_exceed。初始调用backtrack(0, 0, 0, 0, False)。
2. 首先判断是否已经选择了所有的部件,如果是,则判断当前选择的机器设计是否满足总成本不超过c的条件。如果是,更新最小重量和最小成本,并返回。如果否,直接返回。
3. 如果当前部件还没有选择完,遍历所有可能的供应商,选择其中一个供应商,并更新sum_weight和sum_cost。
4. 继续调用backtrack函数,传入下一个待选择的部件下标i+1,已选择的部件重量sum_weight,已选择的部件成本sum_cost,以及总成本不超过c的标志。
5. 在回溯时,需要将sum_weight和sum_cost恢复到回溯前的状态,以便选择其他的供应商。
算法的复杂度分析:
该算法的复杂度是指数级别的,因为需要遍历所有可能的情况。每个部件都有m个供应商可选,总共有n个部件,所以遍历的次数为m^n。因此,该算法的时间复杂度为O(m^n),其中m是供应商的数量,n是部件的数量。
### 回答3:
在解决这个机器设计问题时,可以使用回溯算法。可以将该问题抽象为一个决策树,每个节点表示选择某个供应商提供的某个部件。使用回溯算法就是在决策树的搜索过程中按照一定的规则进行剪枝,从而找到满足条件的最优解。
具体步骤如下:
1. 初始化最小重量为无穷大,当前重量为0,当前成本为0,依次遍历n个部件。对于每个部件,遍历m个供应商。
2. 在每个供应商上进行选择,将部件的重量累加到当前重量,将部件的成本累加到当前成本。
3. 若当前成本超过限制c,则剪枝返回上一层。
4. 若当前成本小于等于限制c,并且当前重量小于最小重量,则更新最小重量。
5. 继续遍历下一个部件,直到遍历完所有部件。
6. 返回最小重量作为最终的最小重量机器设计。
该回溯算法的复杂度分析如下:
1. 对于每个部件,都需要遍历m个供应商,所以时间复杂度为O(m^n)。
2. 在遍历每个供应商时,需要更新当前重量和当前成本,以及进行剪枝操作。这些操作的时间复杂度是常数级别的。
3. 回溯算法是一种递归算法,需要使用系统栈来保存每一层的状态,所以空间复杂度为O(n)。
综上所述,该回溯算法的时间复杂度为O(m^n),空间复杂度为O(n)。
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