如何证明一个随机变量y与一组随机变量x1,x2构成的变量x的相关系数可以拆成y与x1的相关系数以及y与x2的相关系数的和，但是x1与x2之间是不独立的

这是一个经典的统计学问题，关键在于理解相关系数的定义和性质。具体地，设y和x1、x2的期望分别为μy、μ1、μ2，方差分别为σy²、σ1²、σ2²，协方差分别为σy1、σy2、σ12，则有：

相关系数ρ(y,x) = cov(y,x) / σyσx = [E((y-μy)(x-μx))] / σyσx

我们的目标是将ρ(y,x)拆成ρ(y,x1)和ρ(y,x2)的和，即：

ρ(y,x) = ρ(y,x1) + ρ(y,x2)

根据上式，我们可以先计算出ρ(y,x1)和ρ(y,x2)，然后再证明其和等于ρ(y,x)。具体地，有：

ρ(y,x1) = cov(y,x1) / σyσx1 = [E((y-μy)(x1-μ1))] / σyσx1
ρ(y,x2) = cov(y,x2) / σyσx2 = [E((y-μy)(x2-μ2))] / σyσx2

为了证明ρ(y,x) = ρ(y,x1) + ρ(y,x2)，我们需要证明：

cov(y,x) = cov(y,x1) + cov(y,x2)

显然，如果x1和x2独立，则上式成立。但是x1和x2之间不独立，因此我们需要使用条件期望的性质来展开cov(y,x)、cov(y,x1)和cov(y,x2)，即：

cov(y,x) = E(cov(y,x|z)) + cov[E(y|z),E(x|z)]
cov(y,x1) = E(cov(y,x1|z)) + cov[E(y|z),E(x1|z)]
cov(y,x2) = E(cov(y,x2|z)) + cov[E(y|z),E(x2|z)]

其中，z表示x1和x2的信息。

观察上式，我们发现只需要证明以下三个等式即可：

cov(y,x|z) = cov(y,x1|z) + cov(y,x2|z)
E(y|z) = E(y)
cov[E(y|z),E(x|z)] = cov[E(y),E(x1|z)] + cov[E(y),E(x2|z)]

第一个等式成立是因为y与x1、x2的线性组合仍然是线性的，因此它们之间的协方差可以通过这个线性组合展开，并且条件期望的定义也保证了该等式成立。

第二个等式成立是因为y与x1、x2的分布是相同的（它们都是随机变量），因此它们的期望也应该相同。

第三个等式成立需要一些代数运算，但是核心思想是使用条件期望的性质，将E(y)展开为E(E(y|z))，再将E(x1)展开为E(E(x1|z))，以此类推。

由于上述三个等式成立，因此我们可以得出以下结论：

cov(y,x) = E(cov(y,x|z)) + cov[E(y|z),E(x|z)]
= E(cov(y,x1|z) + cov(y,x2|z)) + cov[E(y),E(x1|z)] + cov[E(y),E(x2|z)]
= cov(y,x1) + cov(y,x2)

其中，我们在第二步和第三步分别使用了上述三个等式。因此，我们证明了相关系数可以拆成y与x1的相关系数以及y与x2的相关系数的和，但是x1与x2之间不独立的情况。