矩阵乘自身的转置一定是正定矩阵吗

是的。矩阵乘自身的转置得到的矩阵通常被称为Gram矩阵，它是对称的、半正定的。对于任意非零向量x，有x^T(AA^T)x = (A^Tx)^T(A^Tx) = ||A^Tx||^2 >= 0，因此Gram矩阵是正定的。

相关问题

矩阵乘他的转置得到什么

矩阵乘以它的转置可以写成 $A A^T$ 的形式，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵。$A A^T$ 是一个 $m \times m$ 的矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $a_i a_j^T$ 的迹（trace）。

如果 $A$ 是一个实数矩阵，则 $A A^T$ 是一个半正定矩阵（positive semidefinite matrix）。如果 $A$ 是一个复数矩阵，则 $A A^T$ 是一个半正定的埃尔米特矩阵（Hermitian positive semidefinite matrix）。这些性质在实际应用中有很多重要的应用，例如在统计学中的主成分分析（PCA）方法中就广泛使用了矩阵乘以它的转置。

正交矩阵什么时候一定是正定矩阵

正交矩阵和正定矩阵是两个不同的概念，正交矩阵不一定是正定矩阵。

正交矩阵是指行向量和列向量都是正交的矩阵，即满足 QTQ = I 的方阵 Q，其中 Q^T 表示 Q 的转置矩阵，I 是单位矩阵。

正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零的矩阵。具体来说，对于 n 阶矩阵 A，如果对于任意非零向量 x，都有 x^T A x > 0，那么矩阵 A 就是正定矩阵。

因此，正交矩阵和正定矩阵是两个不同的概念，正交矩阵不一定是正定矩阵。在实际应用中，正交矩阵和正定矩阵有着各自的应用场景和特点。