矩阵乘自身的转置一定是正定矩阵吗

是的。矩阵乘自身的转置得到的矩阵通常被称为Gram矩阵，它是对称的、半正定的。对于任意非零向量x，有x^T(AA^T)x = (A^Tx)^T(A^Tx) = ||A^Tx||^2 >= 0，因此Gram矩阵是正定的。

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正交矩阵什么时候一定是正定矩阵

正交矩阵和正定矩阵是两个不同的概念，正交矩阵不一定是正定矩阵。

正交矩阵是指行向量和列向量都是正交的矩阵，即满足 QTQ = I 的方阵 Q，其中 Q^T 表示 Q 的转置矩阵，I 是单位矩阵。

正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零的矩阵。具体来说，对于 n 阶矩阵 A，如果对于任意非零向量 x，都有 x^T A x > 0，那么矩阵 A 就是正定矩阵。

因此，正交矩阵和正定矩阵是两个不同的概念，正交矩阵不一定是正定矩阵。在实际应用中，正交矩阵和正定矩阵有着各自的应用场景和特点。

半正定矩阵c一定是方正吗

半正定矩阵 C 不一定是方正的。半正定矩阵是指实对称矩阵 C，满足对于任意非零实向量 x，都有 x^T * C * x ≥ 0。其中，x^T 表示 x 的转置。

方正矩阵是指实对称矩阵 C，满足对于任意非零实向量 x，都有 x^T * C * x > 0。

可以看到，半正定矩阵只要求对于任意非零实向量 x，其二次型的值为非负数，而不一定是正数。

举个例子来说，考虑一个半正定矩阵 C = [[1, 0], [0, 0]]，它是一个 2x2 的实对称矩阵。对于任意的非零实向量 x = [a, b]，有 x^T * C * x = [a, b] * [[1, 0], [0, 0]] * [a, b] = [a^2, 0] * [a, b] = a^3 ≥ 0。对于任意的 a 和 b 值都满足这个不等式，所以该矩阵是半正定的。

然而，这个矩阵并不是方正矩阵，因为可以找到一个非零实向量 x = [1, 0]，使得 x^T * C * x = [1, 0] * [[1, 0], [0, 0]] * [1, 0] = 1^2 = 1 > 0。也就是说，可以找到一个非零实向量 x，使得二次型的值大于零，所以该矩阵不是方正的。

综上所述，半正定矩阵不一定是方正的。