数值分析习题解答：矩阵范数与正交、对称正定矩阵性质

"数值分析习题答案" 在数值分析中，矩阵范数是重要的概念，它用于衡量矩阵的大小和性质。本资料涉及了几个与矩阵范数、条件数以及正交矩阵和对称正定矩阵相关的证明。 首先，对于矩阵范数的性质，题目要求证明两个关键点： 1. 由定义可知，矩阵范数满足不等式：A=AE≤AE，其中E是单位矩阵。由此可以推导出E≥1，因为任何矩阵乘以单位矩阵的范数都不会增大。 2. 同样利用范数的性质，可以证明1≤E=AA⁻¹≤AA⁻¹，这表明单位矩阵的范数至少为1，且矩阵与其逆的乘积的范数等于1。 接下来，条件数Cond2(A)是衡量线性系统解的稳定性的一个指标，它等于矩阵范数与其逆的范数的平方。题目证明了： 1. 如果A是正交矩阵，那么A的转置等于它的逆（AᵀA=A），所以Cond2(A) = A²A⁻¹² = 1，意味着正交矩阵的条件数为1，解是稳定的。 2. 对于对称正定矩阵A，其平方等于自身（A²=ATA），最大特征值λ1和最小特征值λn表示了A的范数和逆的范数，因此Cond2(A) = λ1/λn。 最后，关于矩阵逆的范数不等式展示了矩阵差的范数与各自逆的范数和原矩阵差的范数之间的关系：A⁻¹ - B⁻¹ ≤ A⁻¹B⁻¹A - B，这个不等式在处理矩阵误差时非常有用。 此外，资料还包含了一些关于数值计算中的误差分析问题。例如，给出的近似值的绝对误差限、相对误差限和有效数字的计算，这些都是在实际计算中评估精度的重要工具。通过这些例子，我们可以学习如何确定近似值的精度，并理解有效数字在表达精度中的作用。 在解线性方程组的问题上，列主元高斯消元法被用来求解，展示了如何通过选择合适的主元来减少计算误差并简化计算过程。这种方法在数值线性代数中是标准的算法之一，用于求解线性系统。 这些习题和答案涵盖了数值分析中的基本概念，包括矩阵范数、条件数、误差分析和线性方程组的解法，这些都是理解和应用数值计算方法的基础。