求证:不相关的高斯变量一定是互相独立的
时间: 2024-02-22 22:01:35 浏览: 25
当两个高斯变量之间不相关时,并不一定意味着它们互相独立。虽然高斯分布的独立性和不相关性是等价的,但对于其他分布而言,这并不一定成立。因此,对于高斯变量而言,不相关性并不足以证明它们互相独立。要判断高斯变量之间是否独立,需要进一步考虑它们的协方差矩阵。只有当两个高斯变量之间的协方差为0时,它们才是互相独立的。
相关问题
已知函数:y=e的x次方-ln x+x+a,x为自变量,a是常数,求证:该函数的两个零点之积小于1
首先求出该函数的零点,即令y=0,得到 e的x次方 - ln x = 0,移项得到 e的x次方 = ln x,两边同时取自然对数,得到 x = ln(ln x)。由于该函数的定义域为 x > 0,因此可知该方程的解集为 x ∈ (1/e,e)。
设该函数的两个零点分别为 x1 和 x2,且 x1 < x2,则有:
x1x2 = e的x1次方 - ln x1 乘以 e的x2次方 - ln x2
= (e的x1次方乘以 e的x2次方) - (e的x1次方乘以 ln x2) - (e的x2次方乘以 ln x1) + (ln x1乘以 ln x2)
= e的(x1+x2)次方 - (e的x1次方乘以 ln x2) - (e的x2次方乘以 ln x1) + (ln x1乘以 ln x2)
由于当 x1、x2 ∈ (1/e,e) 时,ln(x1) 和 ln(x2) 都是负数,因此有 ln(x1)乘以ln(x2)>0。又因为 e的x1次方乘以 ln x2 和 e的x2次方乘以 ln x1 都是正数,因此有 e的x1次方乘以 ln x2 + e的x2次方乘以 ln x1 > 0。因此有:
x1x2 < e的(x1+x2)次方
根据指数函数的性质,当 a>b>0 时,e的a次方 > e的b次方,因此有:
e的(x1+x2)次方 > e的2/e次方
因此有:
x1x2 < e的2/e次方
e的2/e次方≈1.44,因此可知 x1x2 < 1.44。证毕。
求证:邻域N(x0,δ)={x| ||x-x0||<δ,δ>0}是凸集。
邻域N(x0,δ)={x| ||x-x0||<δ,δ>0}是一个凸集。
证明:
假设a、b两个点属于N(x0,δ),即满足条件||a-x0||<δ和||b-x0||<δ。
对任意的t∈[0,1],考虑点c=t*a+(1-t)*b。
我们有:
||c-x0|| = ||(t*a+(1-t)*b)-x0||
= ||(t*a-x0)+(1-t)*(b-x0)||
≤ ||t*a-x0|| + ||(1-t)*(b-x0)||
= t*||a-x0|| + (1-t)*||(b-x0)||
< t*δ + (1-t)*δ
= δ
所以,c也属于N(x0,δ),即N(x0,δ)对于线段上的任意两点都包含其间的所有点。
因此,邻域N(x0,δ)={x| ||x-x0||<δ,δ>0}是一个凸集。
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