对任意x属于R，求证：P（max|Sk>|3x）<3max P(|Sk|>x)

我们考虑将右侧的最大值拆分成多个事件的概率之和，即：

P(|S1|>x ∪ |S2|>x ∪ ... ∪ |Sn|>x)

由于每个|Si|都是独立同分布的，所以可以利用Boole不等式得到：

P(|S1|>x ∪ |S2|>x ∪ ... ∪ |Sn|>x) ≤ ∑i=1^n P(|Si|>x)

接下来，我们考虑左侧的事件P(max|Sk|>3x)。由于每个Sk都是独立同分布的，因此可以利用公式P(max|Sk|>3x) = 1 - P(|Sk|≤3x)^n，于是我们有：

P(max|Sk|>3x) = 1 - P(|Sk|≤3x)^n

由于|Sk|≤3x等价于|Sk|/x≤3，因此可以利用Markov不等式得到：

P(|Sk|≤3x) ≥ P(|Sk|/x ≤ 3) ≤ E(|Sk|/x) / 3

因此，我们有：

P(max|Sk|>3x) ≤ 1 - (E(|Sk|/x) / 3)^n

接下来，我们需要比较左右两侧的大小关系，即证明：

1 - (E(|Sk|/x) / 3)^n < 3∑i=1^n P(|Si|>x)

这里我们需要利用Jensen不等式，即对于凸函数f(x)，有f(E(X)) ≤ E(f(X))。取f(x) = (x/3)^n，对左侧应用Jensen不等式得到：

1 - (E(|Sk|/x) / 3)^n ≤ 1 - E(|Sk|/3x)^n

对右侧的每一项P(|Si|>x)，我们有：

P(|Si|>x) = E(I(|Si|>x)) ≤ E((|Si|/x)^n)

因此，我们有：

∑i=1^n P(|Si|>x) ≤ ∑i=1^n E((|Si|/x)^n) = E(∑i=1^n (|Si|/x)^n)

接下来，我们需要证明：

1 - E(|Sk|/3x)^n < 3E(∑i=1^n (|Si|/x)^n)

由于|Si|都是独立同分布的，因此可以利用MGF（Moment Generating Function）来计算E((|Si|/x)^n)，即：

M(t) = E(exp(t|S|/x))

然后，我们可以用Jensen不等式得到：

M(t)^n ≤ E(exp(nt|S|/x)) = M(nt)

因此，我们有：

E((|Si|/x)^n) = M(n)^n ≤ M(n) = E(exp(n|S|/x))

因此，我们有：

3E(∑i=1^n (|Si|/x)^n) ≥ 3E(exp(n∑i=1^n |Si|/x)) = E(exp(n|Sk|/x)^n)

于是，我们需要证明：

1 - E(|Sk|/3x)^n < E(exp(n|Sk|/x)^n)

这个可以利用Chernoff bound得到，即：

P(|Sk| > t) ≤ 2exp(-t^2 / (2nσ^2))

其中，σ^2是每个Si的方差，t = nx，于是我们有：

E(exp(n|Sk|/x)^n) ≥ exp(n^2x^2 / (2nσ^2)) = exp(nxd^2 / 2)

其中，d是每个Si的标准差，由于|Si|≤|S|，因此d ≤ σ√n，于是我们有：

E(exp(n|Sk|/x)^n) ≥ exp(nxd^2 / 2) ≥ exp(nxσ^2 / 2)

于是，我们有：

1 - E(|Sk|/3x)^n < exp(nxσ^2 / 2)

因此，我们需要证明：

exp(nxσ^2 / 2) < 3exp(nxσ^2 / 2)∑i=1^n E((|Si|/x)^n)

即：

1 < 3∑i=1^n E((|Si|/x)^n)

这个结论是显然成立的，因为∑i=1^n E((|Si|/x)^n) ≥ E((∑i=1^n |Si|/x)^n) = 1。

因此，我们证明了：

P(max|Sk|>3x) < 3max P(|Sk|>x)