矩阵A乘B的平方等于B的平方乘A的平方吗
时间: 2024-02-16 17:01:30 浏览: 39
不一定。矩阵乘法不满足交换律,因此一般情况下,矩阵A乘B的平方不等于B的平方乘A的平方。
反例:考虑矩阵A和B如下:
A = [[1, 0], [0, -1]]
B = [[2, 1], [1, 2]]
则AB的平方为:
(AB)² = A(BA)B = [[1, 0], [0, -1]]([[4, 4], [4, 5]] [[2, 1], [1, 2]])[[2, 1], [1, 2]] = [[20, 8], [8, 20]]
B的平方为:
B² = [[2, 1], [1, 2]] [[2, 1], [1, 2]] = [[5, 4], [4, 5]]
A的平方为:
A² = [[1, 0], [0, -1]] [[1, 0], [0, -1]] = [[1, 0], [0, 1]]
B的平方乘A的平方为:
B²A² = [[5, 4], [4, 5]] [[1, 0], [0, 1]] = [[5, 4], [4, 5]]
可以看出,(AB)²不等于B²A²,因此矩阵A乘B的平方不一定等于B的平方乘A的平方。
相关问题
矩阵AB的平方等于多少
要求矩阵AB的平方,必须满足矩阵A和矩阵B的大小满足矩阵乘法的条件,即A的列数等于B的行数。假设矩阵A是m行n列,矩阵B是n行k列,则矩阵AB的大小为m行k列。
矩阵AB的平方等于矩阵AB乘以矩阵AB,即(AB)²=ABAB。使用矩阵乘法的规则,我们可以得到:
(AB)² = A(BA)B
其中,BA表示矩阵B乘以矩阵A。因此,如果我们知道矩阵A和矩阵B,就可以计算出矩阵AB的平方。
需要注意的是,矩阵乘法不满足交换律,即AB不一定等于BA,因此(AB)²不一定等于A²B²。
设矩阵B等于矩阵A的转置右乘矩阵A那么B矩阵的秩和A矩阵的秩是相等的吗
设 $B=A^TA$,则 $B$ 是一个对称矩阵,且 $B$ 的元素为实数。由于 $B$ 是一个对称矩阵,因此它的秩等于它的非零特征值的个数。同时,$B$ 的特征值为非负实数,因为 $B$ 是由 $A$ 转置右乘 $A$ 得到的。
接下来考虑 $B$ 的特征值。设 $\lambda$ 是 $B$ 的一个特征值,$x$ 是对应的特征向量,那么有:
$$
Bx = \lambda x \\
x^TBx = \lambda x^Tx \\
x^TA^TAx = \lambda x^Tx \\
(Ax)^T(Ax) = \lambda x^Tx
$$
由此可见,$\lambda$ 是 $A$ 的列向量 $Ax$ 的长度的平方。因此,$B$ 的所有特征值都是非负数,且每个特征值的几何重数等于它的代数重数。又因为 $B$ 的秩等于它的非零特征值的个数,因此 $B$ 的秩等于 $A$ 的列向量个数的秩,即 $\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A)$。
综上,当矩阵 $B$ 等于矩阵 $A$ 的转置右乘矩阵 $A$ 时,$B$ 的秩和 $A$ 的秩相等。
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