怎么理解线性代数中数域P上n个未知量的非齐次线性方程组的解的集合必定不是Pn的子空间

在数学中，一个向量空间的子集如果同时满足加法和数乘的封闭性，则被称为该向量空间的子空间。对于一个线性方程组的解的集合，如果该集合不满足加法和数乘的封闭性，则该集合不是Pn的子空间。

对于一个数域P上n个未知量的非齐次线性方程组，它的解的集合可以表示为其对应的齐次线性方程组的解的集合加上一个特解。这个特解不一定在Pn中，所以就导致了线性方程组的解的集合不一定是Pn的子空间。

相关问题

证明命题1：数域P上的n维线性空间V与n元有序数组做成的向量空间p同构。

证明：

首先，我们需要明确一下什么是数域P上的n维线性空间V和n元有序数组做成的向量空间p。

数域P上的n维线性空间V是指一个具有以下性质的集合：

1. 集合V中的元素称为向量。

2. 在V中定义了加法和数乘运算，即对于任意的u, v∈V和k∈P，满足以下性质：

(a) 加法运算：u+v∈V，且满足交换律、结合律、存在零向量0∈V，使得u+0=u，以及每个向量u∈V都有一个相反向量-v∈V，使得u+(-v)=0。

(b) 数乘运算：k·u∈V，且满足结合律、分配律和对数乘1的保持不变性，即1·u=u。

3. 满足线性组合性质，即对于任意的v1, v2, …, vk∈V和k1, k2, …, kk∈P，有以下等式成立：k1v1+k2v2+…+kkvk∈V。

n元有序数组做成的向量空间p是指一个集合，其中的元素是由n个有序数组成的向量，即p={(a1,a2,…,an)|ai∈P}，并且定义了向量的加法和数乘运算：

1. 向量的加法：(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)。

2. 向量的数乘：k(a1,a2,…,an)=(ka1,ka2,…,kan)。

现在我们来证明V和p是同构的，即存在一个双射f:V→p，使得对于任意的u, v∈V和k∈P，有以下等式成立：

1. f(u+v)=f(u)+f(v)

2. f(k·u)=k·f(u)

3. f是双射

首先，我们定义一个线性变换f:V→p，使得f(u)=(u1,u2,…,un)，其中u=(u1,u2,…,un)∈V。

我们可以证明f是线性变换，即对于任意的u, v∈V和k∈P，有以下等式成立：

1. f(u+v)=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)=f(u)+f(v)

2. f(k·u)=(k·u1,k·u2,…,k·un)=k·f(u)

因此，f是一个线性变换。

接下来，我们证明f是双射。

首先，我们证明f是单射，即对于任意的u, v∈V，如果f(u)=f(v)，那么u=v。

假设f(u)=f(v)，即(u1,u2,…,un)=(v1,v2,…,vn)，那么对于任意的i∈{1,2,…,n}，有ui=vi。

由于u和v都是数域P上的n维线性空间V中的向量，因此它们必须满足相同的线性组合性质，即对于任意的k1, k2, …, kn∈P，有k1u1+k2u2+…+knun=k1v1+k2v2+…+knvn。

由于ui=vi，因此上述等式可以写成k1u1+k2u2+…+knun=k1u1+k2u2+…+knun，即u=v。

因此，f是单射。

接下来，我们证明f是满射，即对于任意的(a1,a2,…,an)∈p，存在一个向量u∈V，使得f(u)=(a1,a2,…,an)。

假设(a1,a2,…,an)∈p，那么我们可以定义一个向量u=(u1,u2,…,un)∈V，其中ui=ai。

由于f(u)=(u1,u2,…,un)=(a1,a2,…,an)，因此f是满射。

因此，f是单射和满射，即f是一个双射。

综上所述，V和p是同构的，即存在一个双射f:V→p，使得对于任意的u, v∈V和k∈P，有以下等式成立：

1. f(u+v)=f(u)+f(v)

2. f(k·u)=k·f(u)

3. f是双射

证毕。

V为数域K上线性空间，S是V的任意非空子集，V中包含S的所有子空间的交称为由S生成的子空间<S>，证明S包含于<S>

设S包含m个向量{s1,s2,...,sm}，则<S>为包含S的所有子空间的交，即<S>=W1∩W2∩...∩Wk，其中Wi是包含S的子空间。

由于S非空，至少存在一个Wi包含S中的任意一个向量，因此Wi包含S的线性组合，即Wi包含向量{s1,s2,...,sm}的线性组合。又因为<S>=W1∩W2∩...∩Wk，所以<S>也包含{s1,s2,...,sm}的线性组合，即<S>包含S。

综上，S包含于<S>。