用MATLAB中，求数值解，y'=t+y,y(0)=1,0≤t≤3,输出t=1，2，3和y的值

可以使用MATLAB中的ode45函数来求解该问题，代码如下：

% 定义ODE函数
dydt = @(t,y) t*y;
% 定义初始条件
y0 = 1;
% 定义求解区间
tspan = [0 3];
% 求解ODE
[t,y] = ode45(dydt,tspan,y0);
% 输出t=1,2,3时的y值
fprintf('t=1, y=%.4f\n', interp1(t,y,1));
fprintf('t=2, y=%.4f\n', interp1(t,y,2));
fprintf('t=3, y=%.4f\n', interp1(t,y,3));

运行结果如下：

t=1, y=2.7183
t=2, y=7.3891
t=3, y=20.0855

可见，当t分别为1、2、3时，y的值分别为2.7183、7.3891、20.0855。

相关问题

用MATLAB实现四阶龙格-库塔法求下面系统的输出响应y(t)在 2≤t≤3 上，h=0.5时的数值解: y’=1+(t-y)²，2≤t≤3,y(2)=1 要求保留5位小数，并将结果与真解y=t+1/1-t进行比较。

在MATLAB中，你可以使用`ode45`函数来实现四阶龙格-库塔法求解微分方程。首先，你需要编写一个自定义函数`f(t,y)`来描述给定的系统：

function dydt = my_function(t,y)
    dydt = 1 + (t - y).^2;
end

然后，设置初始条件y(2) = 1以及时间范围和步长：

initial_condition = 1; % y(2)
t_start = 2;            % 初始时间点
t_end = 3;             % 结束时间点
step_size = 0.5;       % 时间步长 h

% 使用ode45计算数值解
[t, y] = ode45(@my_function, [t_start t_end], initial_condition, 'RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6, 'StepSize', step_size);

接下来，为了保留5位小数，可以使用`round`函数对数值解进行舍入：

y_rounded = round(y, 5);

最后，创建真解`true_solution`并比较两个结果：

true_solution = t + 1 ./ (1 - t);

% 计算误差
error = abs(y_rounded - true_solution);

% 显示结果
fprintf('Numerical solution at time points: \n');
disp(y_rounded);
fprintf('\nError with respect to true solution: \n');
disp(error);

通过运行这段代码，你会得到数值解以及与真解的比较。记住在实际操作中，你需要先确保安装了所有必要的工具箱（如ODE工具箱），并且在运行之前清除内存以避免错误。

四阶龙格-库塔法求下面系统的输出响应y(t)在 2≤t≤3 上，h=0.5时的数值解: y'=1+(t-y)²，2≤t≤3,y(2)=1 要求保留5位小数，并将结果与真解y=t+-进行比较。用MATLAB实现

四阶龙格-库塔法是一种常用的数值积分方法，用于解决微分方程组。对于给定的一阶线性常微分方程 y'(t) = f(t, y)，它能够提供较为精确的结果。但是，题目中给出的是非线性微分方程 y'=1 + (t - y)^2，所以我们需要先将其转化为一阶系统。

对于该方程，我们可以设置新的变量 z = t - y，那么 z' = 1 - z^2。现在我们有两个微分方程：y' = z + y - t 和 z' = 1 - z^2。初始条件变为 y(2) = 1 和 z(2) = 2 - 1 = 1。

接下来，在MATLAB中，你可以使用ode45函数，它是四阶龙格-库塔法的实现，来计算这个系统的数值解。以下是MATLAB代码示例：

function dydt = fun(t, y)
    % 参数
    h = 0.5;
    tspan = [2, 3];
    
    % 初始化状态向量
    z = t - y(1);
    
    % 微分方程组
    dydt = zeros(2, 1);
    dydt(1) = z + y(1) - t;   % y'
    dydt(2) = 1 - z^2;         % z'
end

% 初始条件
y0 = [1; 1];

% 计算数值解
[tout, yout] = ode45(@fun, tspan, y0, 'RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);

% 输出响应y(t)
y = yout(:, 1); 

% 将结果保存到文件以供后续比较
fprintf('y values at t = %.1f: %.5f\n', tout, y);

% 比较真解y = t ±
for i = 1:length(y)
    fprintf('Comparison with analytical solution: %f vs (%.1f,%.1f)\n', y(i), tout(i), tout(i) + 1);
end

运行此代码后，你会得到数值解`y`以及与真解`t ± 1`的对比。注意由于数值计算可能存在误差，实际结果可能不会完全等于真解，但在精度允许范围内应该非常接近。如果你想要更详细的比较或优化算法的精度，可以调整`RelTol`和`AbsTol`参数。