用欧拉法求解微分方程数值解

欧拉法是一种基本的数值积分方法，用于求解一阶常微分方程初值问题的数值解。

对于一阶常微分方程dy/dx = f(x,y)，初值为y(x0) = y0，欧拉法的迭代公式为：

y[i+1] = y[i] + f(x[i], y[i]) * h

其中，h为步长，x[i+1] = x[i] + h。

根据该公式，从初始点开始，每次迭代都需要计算f(x[i], y[i])，然后将其与步长h相乘，并添加到当前的y值上，以得到下一个y值。这个过程一直进行直到达到所需的x值。

下面是一个使用欧拉法求解微分方程数值解的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def euler_method(f, x0, y0, h, x_end):
    # 初始化
    x = np.arange(x0, x_end + h, h)
    y = np.zeros_like(x)
    y[0] = y0
    
    # 迭代
    for i in range(len(x) - 1):
        y[i+1] = y[i] + f(x[i], y[i]) * h
    
    return x, y

# 示例函数：y' = y, y(0) = 1
def example_func(x, y):
    return y

# 解析解：y = e^x
def analytical_solution(x):
    return np.exp(x)

# 求解
x0, y0 = 0, 1
h = 0.1
x_end = 1
x, y = euler_method(example_func, x0, y0, h, x_end)

# 绘图
plt.plot(x, y, label='数值解')
plt.plot(x, analytical_solution(x), label='解析解')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

运行该代码，可以得到以下输出：


可以看到，欧拉法得到的数值解与解析解非常接近。在实际应用中，可以根据需要选择不同的步长h来得到更精确的数值解。