8、已知曲线P1和P3，构造三次hermite样条曲线P2把曲线P1和P3连接起来并目P2的两个端点处分别与P1和P3有G1连续，则三次hermite样条曲线的边界条件应为

三次Hermite样条曲线由四个控制点 $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ 和两个参数 $t_1$, $t_2$ 确定。为了使曲线在端点处与 $P_1$ 和 $P_3$ 有 $G1$ 连续性，我们需要满足以下边界条件：

1. 曲线在 $t=t_1$ 处与 $P_1$ 相切，即曲线在 $t=t_1$ 处的切线方向为 $\overrightarrow{P_1P_2}$。
2. 曲线在 $t=t_2$ 处与 $P_3$ 相切，即曲线在 $t=t_2$ 处的切线方向为 $\overrightarrow{P_2P_3}$。

因此，我们需要计算控制点 $P_1$ 和 $P_2$ 在 $t=t_1$ 和 $t=t_2$ 处的导数。设 $P_1=(x_1,y_1)$，$P_2=(x_2,y_2)$，则有：

$$
\begin{aligned}
\frac{dP_2}{dt}\bigg|_{t=t_1} &= \frac{3(P_2-P_1)}{(t_2-t_1)^2} - \frac{3\overrightarrow{P_1P_2}}{(t_2-t_1)} \\
\frac{dP_2}{dt}\bigg|_{t=t_2} &= \frac{3(P_3-P_2)}{(t_2-t_1)^2} - \frac{3\overrightarrow{P_2P_3}}{(t_2-t_1)}
\end{aligned}
$$

现在我们有了四个控制点和两个端点处的导数，可以使用三次Hermite插值公式构造三次Hermite样条曲线：

$$
\begin{aligned}
P_2(t) &= \left(2t^3-3t^2+1\right)P_1 + \left(t^3-2t^2+t\right)\frac{dP_2}{dt}\bigg|_{t=t_1} \\
&\quad + \left(-2t^3+3t^2\right)P_3 + \left(t^3-t^2\right)\frac{dP_2}{dt}\bigg|_{t=t_2}
\end{aligned}
$$

其中 $t \in [0,1]$，$t_1$ 和 $t_2$ 是两个参数。