请说明如何运用MATLAB控制系统工具箱来构建和分析一个线性时不变系统的稳定性，并设计一个合适的PID控制器。

MATLAB控制系统工具箱为我们提供了全面的连续和离散系统分析与设计功能，是分析系统稳定性和设计控制器的得力助手。以下是具体的操作步骤：

参考资源链接：[MATLAB工具箱概览：关键功能与应用](https://wenku.csdn.net/doc/5zz95vm59p?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要定义系统的数学模型。通常，一个线性时不变（LTI）系统可以用状态空间方程或者传递函数来表示。在MATLAB中，我们可以使用tf或者ss函数创建传递函数或状态空间模型。

接下来，我们使用控制系统工具箱中提供的根轨迹分析功能来评估系统稳定性。根轨迹分析会显示开环增益变化时系统极点的运动轨迹，我们可以根据极点的位置判断系统的稳定性。在MATLAB中，使用rlocus函数可以绘制出系统的根轨迹图。

如果系统不稳定，我们可能需要设计一个控制器以稳定它。PID控制器是一种常见的反馈控制器，可以根据系统性能要求进行比例、积分和微分增益的调整。在MATLAB中，我们可以通过pid函数创建一个PID控制器，并使用feedback函数实现闭环系统。

为了进一步分析闭环系统的动态性能，MATLAB提供了step函数来绘制系统阶跃响应，使用bode函数或nyquist函数绘制系统频率响应。这些图形化工具帮助我们直观地观察系统性能，并且可以辅助我们进一步调优PID控制器参数。

最后，一旦控制器参数确定下来，我们可以使用gensig函数生成控制信号，并使用sim函数对整个系统进行仿真，验证控制器在不同条件下的表现。

通过以上的步骤，我们不仅可以分析系统的稳定性，还能设计出一个合适的PID控制器。为了更深入地了解如何操作这些功能和工具箱的具体使用方法，可以参考《MATLAB工具箱概览：关键功能与应用》这一资源。该资源详细介绍了控制系统工具箱以及其他工具箱在工程实践中的应用，无论是在项目实战还是深入研究时都是一份宝贵的参考资料。

参考资源链接：[MATLAB工具箱概览：关键功能与应用](https://wenku.csdn.net/doc/5zz95vm59p?spm=1055.2569.3001.10343)