简述prim算法和kruskal算法的区别

Prim算法和Kruskal算法都是用于求解最小生成树的经典算法，它们的主要区别在于：

1. 算法思想不同

Prim算法采用的是贪心策略，每次选取与当前生成树距离最近的节点，将其加入生成树中。而Kruskal算法则是将所有边按照权值从小到大排序，逐个加入生成树中，直至生成树中包含所有节点。

2. 实现方式不同

Prim算法通常采用堆优化的方式实现，可以将时间复杂度降为O(ElogV)。而Kruskal算法则通常采用并查集实现，时间复杂度也是O(ElogV)。

3. 适用场景不同

Prim算法适用于稠密图，即边数比较多的情况。而Kruskal算法适用于稀疏图，即边数比较少的情况。这是因为Prim算法每次需要从所有节点中选取与当前生成树距离最近的节点，需要比较的节点数较多，而Kruskal算法则只需要按照权值排序，比较较少。

相关问题

简述prim算法和kruskal算法原理和区别

Prim算法和Kruskal算法都是最小生成树算法，它们的目的都是找到一棵连接所有节点且权值之和最小的树。它们的区别在于实现方式和时间复杂度。

Prim算法的实现方式是从一个起点开始，每次选择与已有树的节点最近的节点加入树中，直到所有节点都被加入。具体步骤如下：

1. 选取一个起点作为树的根节点。
2. 将该节点加入树中，并将该节点与所有未加入树中的节点之间的边加入一个边集。
3. 从边集中选择一条权值最小的边，该边的另一个节点加入树中。
4. 将该节点与所有未加入树中的节点之间的边加入边集。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都被加入树中。

Kruskal算法的实现方式是先将所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边加入树中，直到所有节点都被加入。具体步骤如下：

1. 将所有边按权值从小到大排序。
2. 依次选择权值最小的边，如果该边连接的两个节点不在同一连通块中，则将该边加入树中，并将这两个节点合并为一个连通块。
3. 重复步骤2，直到所有节点都被加入树中。

两种算法的时间复杂度都为O(ElogE)，但是Prim算法在稠密图中表现更好，而Kruskal算法在稀疏图中表现更好。此外，Prim算法需要一个优先队列来存储边集，而Kruskal算法需要一个并查集来判断两个节点是否在同一连通块中。

.(1)写一种最小生成树的伪代码，分析时间复杂度。Prim或Kruskal均可；(2)在原图G中，加入一条边e，请设计一种高效的算法判断是否改变原来的最小生成树。简述算法思想，写出伪代码，分析时间复杂度，给出证明。

(1) Kruskal算法伪代码：

Kruskal(G):
1. 将图G的所有边按权值从小到大排序
2. 初始化一个空的最小生成树MST
3. for 边 e in 排序后的边集:
4.     如果将边e加入MST不会形成环，则将e加入MST
5. 返回MST

时间复杂度分析：排序边的时间复杂度为O(ElogE)，判断是否形成环的时间复杂度为O(ElogV)，总时间复杂度为O(ElogE)。

(2) 判断加入一条边e是否改变原来的最小生成树的算法思想：
我们可以先在原最小生成树上找到e的两个端点u和v的路径，然后找到路径上权值最大的边f。如果f的权值大于e的权值，则将f替换为e后得到的树仍然是原来的最小生成树。否则，将e加入原来的最小生成树后，得到的新树将成为新的最小生成树。

算法伪代码：

check_change(G, e, MST):
1. 找到e的两个端点u和v在MST中的路径path
2. 在path上找到权值最大的边f
3. if f.weight > e.weight:
4.     return False  # 不改变原最小生成树
5. else:
6.     return True  # 改变原最小生成树

时间复杂度分析：
在最坏情况下，需要沿着最大的路径遍历整个树，时间复杂度为O(V)，再找到路径上最大的边需要O(logV)的时间复杂度，因此总时间复杂度为O(VlogV)。