如何用递归方法求解等差数列或等比数列的前 n 项之和？从基础概念开始讲解递归思想在求和问题中的应用实例。

递归是一种解决问题的方法，它将复杂的问题分解成更小、相似的子问题，直到问题简单到可以直接解决为止。对于等差数列（公差固定）和等比数列（公比固定）的前n项和，递归通常体现在分治策略上。

**等差数列前n项和的递归公式（使用数学归纳法）**:
1. **基本情况**: 如果n=1，那么只有一个数，其和即为该数本身，记作`S(1) = a1`（其中a1是首项）。
2. **递归情况**: 对于n大于1的情况，等差数列的前n项和`S(n)`可以拆分为前n-1项和加上第n项，即`S(n) = S(n-1) + a_n`。这里的`a_n`是第n项，可以根据已知的通项公式计算出来。

**等比数列前n项和的递归公式**:
1. **基本情况**: 同样地，如果n=1，那么和就是首项，记作`S(1) = a1`。
2. **递归情况**: `S(n)`可以表示为前一项的和乘以公比再加上当前项，即`S(n) = S(n-1) * q + a1*q^(n-1)`，这里q是公比。

实际编写代码时，需要设置一个终止条件（如n小于等于0），并提供一个基本情况作为递归结束点。以下是Python代码示例：

def sum_arithmetic_series(a1, d, n):
    if n == 1:  # 基本情况
        return a1
    else:
        return sum_arithmetic_series(a1, d, n - 1) * d  # 递归情况

def sum_geometric_series(a1, r, n):
    if n == 1:  # 基本情况
        return a1
    elif r == 1:  # 特殊情况：公比为1，无穷等比数列为常数序列
        return a1 * n
    else:  # 递归情况
        return sum_geometric_series(a1 * r, r, n - 1) + a1 * r**(n - 1)