3、设A,B为同阶可逆方阵,则下列说法正确的是 () A.若AB = l,则必有A = l或B = I B .(AB)' =AB C.秩(A+B)=秩(A)+秩(B) D。(AB)'-BA
时间: 2024-04-05 07:31:46 浏览: 118
正确的选项是 D. (AB)'-BA。
首先,若 AB = I,则 A 和 B 都是可逆矩阵,即 A 和 B 都存在逆矩阵,所以 A = I B = I 是不一定的。
其次,(AB)' = B'A',所以 (AB)' = AB 成立当且仅当 AB = BA,即 A 和 B 对易。所以 (AB)' = AB 不一定成立,选项 B 错误。
对于选项 C,秩(A+B) ≤ 秩(A) + 秩(B),等式成立当且仅当 A 和 B 的列空间和行空间互补,这个条件不一定满足,所以选项 C 错误。
最后,(AB)' - BA = B'A' - BA = B'(AB - BA) = B'(AB - AB) = B'0 = 0,所以选项 D 正确。
相关问题
设A是n阶方阵,.证明: A' Ax= AT b必有解.
这是一个矩阵论中的问题,可以用矩阵的性质来证明。首先,设矩阵A的列向量为a1, a2, ..., an,矩阵的转置为A',向量b为任意n维向量。
我们可以将该等式写成(A'Ax)'=(ATb)',即x'A'A'x = b'AT。因为A'A是一个对称矩阵,所以它一定可对角化,即存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D,使得A'A = PDP'。代入原等式,并考虑到正交矩阵的性质PP' = P'P = I,得到x'Dx = (P'b)'DP'x。
因为D是一个对角矩阵,可以将其对角线上的元素按从大到小排列,设其为λ1, λ2, ..., λn。由于A'A可逆,故其所有特征值都为正,即λi > 0。因此,将x取为D的对角线上每个元素的平方根的倒数,即xi = 1/√λi,那么x'Dx = 1。此时,等式左侧的x可以求得,等式右侧的(P'b)'DP'x也可以通过矩阵乘法求得。因此,该等式必有解。
因此,证毕。
设 A 为 3 阶可逆矩阵,且|A|=2,则|-A*|=().
根据引用[1]和引用的信息,我们可以得出以下结论:
- 设 A 为 n 阶实对称矩阵,满足 A^2 = A,且 A 的秩为 r。
- 行列式 det(2E - A) 的值等于 (-1)^(n-r) * 2^(n-r) * det(B),其中 B 是 A 的标准型矩阵。
- 根据引用中的信息,标准型矩阵 B 可以表示为 P^(-1) * A * P,其中 P 是一个可逆矩阵,且 B 的形式为 [E_r 0; 0 0],其中 E_r 是 r 阶单位矩阵。
根据题目中的信息,设 A 为 3 阶可逆矩阵,且 |A| = 2。我们可以得出以下结论:
-1) * A * P| = |P^(-1)| * |A| * |P| = |A| * |P^(-1)| * |P| = |P^(-1) * P| = |E| = 1。
- 因此,|A| = 2 = 1,这是一个矛盾的结论。
所以,题目中的条件是不成立的,无法求出 |-A*| 的值。