L1和L2正则化组合求解线性方程组 matlab举例

假设我们有一个线性方程组 Ax=b，我们可以通过 L1 和 L2 正则化组合的方法求解。

首先，我们可以将问题转化为一个最小化问题：

min ||Ax-b||^2 + λ1||x||1 + λ2||x||2^2

其中，λ1 和 λ2 是两个正则化参数，||x||1 和 ||x||2^2 分别表示 L1 和 L2 正则化项。这个问题可以通过坐标下降算法求解。

下面是 MATLAB 代码示例：

% 生成数据
n = 100; % 变量数
m = 50; % 方程数
A = rand(m,n); % 系数矩阵
b = rand(m,1); % 右侧向量

% 求解线性方程组
x0 = rand(n,1); % 初始解
lambda1 = 0.01; % L1 正则化参数
lambda2 = 0.1; % L2 正则化参数
max_iter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 收敛精度
x = l1l2_solve(A,b,x0,lambda1,lambda2,max_iter,tol);

% 输出结果
disp(x);

% 定义 L1 和 L2 正则化组合求解函数
function x = l1l2_solve(A,b,x0,lambda1,lambda2,max_iter,tol)
    n = length(x0);
    x = x0;
    for iter=1:max_iter
        for i=1:n
            % 按照坐标轴顺序更新变量
            x(i) = l1l2_shrinkage(A,b,x,lambda1,lambda2,i);
        end
        % 判断是否收敛
        if norm(A*x-b) < tol
            break;
        end
    end
end

% 定义 L1 和 L2 正则化项收缩函数
function y = l1l2_shrinkage(A,b,x,lambda1,lambda2,i)
    % 计算梯度和 Hessian 矩阵
    [G,H] = l1l2_grad_hess(A,b,x,i);
    % 计算收缩系数
    if lambda1 == 0
        alpha = -1/H;
    elseif lambda2 == 0
        alpha = -G/(H+eps);
    else
        alpha = max((abs(G)-lambda1)/((1+2*lambda2)*H),0);
    end
    % 应用收缩操作
    y = sign(G)*max(abs(G)-alpha*lambda1,0)/(H+alpha*lambda2);
end

% 定义 L1 和 L2 正则化项的梯度和 Hessian 矩阵计算函数
function [G,H] = l1l2_grad_hess(A,b,x,i)
    G = 2*sum(A(:,i).*(A*x-b)); % 梯度
    H = 2*sum(A(:,i).^2); % Hessian 矩阵
end

上述代码中，我们首先生成 100 个变量和 50 个方程的随机线性方程组，然后使用 L1 和 L2 正则化组合的坐标下降算法求解。

其中，l1l2_solve 函数用于求解线性方程组，l1l2_shrinkage 函数用于进行 L1 和 L2 正则化项的收紧操作，l1l2_grad_hess 函数用于计算梯度和 Hessian 矩阵。在收紧操作中，我们使用了 LARS 算法中的步长计算方法，详见《The Elements of Statistical Learning》一书。