考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

对于一个平稳且有因果关系的线性ARCH模型$Z_t=a_t(1+0.5|Z_{t-1}|+0.3|Z_{t-2}|)$，我们可以将其转化为下面的形式：
$$
Z_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^{2}\phi_i|Z_{t-i}|,
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5|Z_{t-1}|+0.3|Z_{t-2}|}$为误差项。

可以看出，该模型中$Z_t$的取值不仅仅取决于自身的历史取值，还取决于其过去的两个绝对值。这意味着$Z_t$不满足ARMA模型的条件，因为ARMA模型要求时间序列的取值仅仅取决于其自身的历史取值。

对于$X_t=|Z_t|$，我们可以将其表示为$X_t=Z_tI(Z_t\geq 0)-Z_tI(Z_t<0)$，其中$I(\cdot)$为指示函数。可以看出，$X_t$的取值只取决于$Z_t$的绝对值，而与$Z_t$自身的正负无关。因此，$X_t$的取值仅仅取决于其自身的历史取值，满足ARMA模型的条件。具体地，$X_t$可以表示为下面的形式：
$$
X_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^{2}\phi_iX_{t-i}+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2},
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5X_{t-1}+0.3X_{t-2}}$为误差项。因此，$X_t$满足ARMA模型的条件。

相关问题

令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。（b) 考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

(a) 在 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 ARMA 模型需要满足平稳性和有界自协方差函数，而 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。但是，当 $Z_t$ 取较小的值时，$(\mathrm{ARCH})$ 模型会近似于平稳的 ARMA 模型，因此可以使用 ARMA 模型来描述 $Z_t$。对于 $X_t=Z_t^2$，可以将 $(\mathrm{ARCH})$ 模型转化为一个 ARCH(2) 模型，因此 $X_t$ 是一个 ARCH(2) 模型，而不是 ARMA 模型。

(b) 在线性 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。对于 $X_t=|Z_t|$，也不一定服从 ARMA 模型。因为 $X_t$ 的均值和方差都是时间相关的，而 ARMA 模型中的均值和方差都是常数。此外，$X_t$ 的自相关系数也不是拖尾的，因为当 $k=1$ 时，$\rho_1$ 不为零，但是当 $k \geq 2$ 时，$\rho_k=0$。因此，$X_t$ 也不是 ARMA 模型。

令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。(b) 考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

(a) 首先将 $\mathrm{ARCH}$ 模型展开，得到
$$
Z_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2} \\
=a_t\sqrt{1+0.5\left(a_{t-1}\sqrt{1+0.5Z_{t-2}^2+0.3Z_{t-3}^2}\right)^2+0.3\left(a_{t-2}\sqrt{1+0.5Z_{t-3}^2+0.3Z_{t-4}^2}\right)^2}
$$
可以看出，$Z_t$ 不满足 ARMA 模型的形式，因为它不是线性的。同时，考虑 $X_t=Z_t^2$，则有
$$
X_t=Z_t^2=a_t^2(1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2)
$$
将其展开，得到
$$
X_t=a_t^2+0.5a_ta_{t-1}^2X_{t-1}+0.3a_ta_{t-2}^2X_{t-2}
$$
这个形式与 ARMA 模型类似，但是由于 $a_t$ 是 i.i.d. 的标准正态随机变量，所以 $a_t^2$ 不是常数，因此 $X_t$ 也不满足 ARMA 模型的形式。

(b) 类似地，将 $\mathrm{ARCH}$ 模型展开，得到
$$
Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) \\
=a_t\left(1+0.5a_{t-1}\left|1+0.5\left|Z_{t-2}\right|+0.3\left|Z_{t-3}\right|\right|+0.3a_{t-2}\left|1+0.5\left|Z_{t-3}\right|+0.3\left|Z_{t-4}\right|\right|\right)
$$
可以看出，$Z_t$ 也不满足 ARMA 模型的形式。同时，考虑 $X_t=\left|Z_t\right|$，则有
$$
X_t=\left|Z_t\right|=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right)
$$
将其展开，得到
$$
X_t=a_t+0.5a_ta_{t-1}X_{t-1}+0.3a_ta_{t-2}X_{t-2}
$$
这个形式与 ARMA 模型类似，但是由于 $a_t$ 是 i.i.d. 的标准正态随机变量，所以 $a_t$ 不是常数，因此 $X_t$ 也不满足 ARMA 模型的形式。