考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

对于一个平稳且有因果关系的线性ARCH模型$Z_t=a_t(1+0.5|Z_{t-1}|+0.3|Z_{t-2}|)$，我们可以将其转化为下面的形式：
$$
Z_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^{2}\phi_i|Z_{t-i}|,
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5|Z_{t-1}|+0.3|Z_{t-2}|}$为误差项。

可以看出，该模型中$Z_t$的取值不仅仅取决于自身的历史取值，还取决于其过去的两个绝对值。这意味着$Z_t$不满足ARMA模型的条件，因为ARMA模型要求时间序列的取值仅仅取决于其自身的历史取值。

对于$X_t=|Z_t|$，我们可以将其表示为$X_t=Z_tI(Z_t\geq 0)-Z_tI(Z_t<0)$，其中$I(\cdot)$为指示函数。可以看出，$X_t$的取值只取决于$Z_t$的绝对值，而与$Z_t$自身的正负无关。因此，$X_t$的取值仅仅取决于其自身的历史取值，满足ARMA模型的条件。具体地，$X_t$可以表示为下面的形式：
$$
X_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^{2}\phi_iX_{t-i}+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2},
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5X_{t-1}+0.3X_{t-2}}$为误差项。因此，$X_t$满足ARMA模型的条件。