matlab中gauss_legendre_int

gauss_legendre_int是Matlab中的一个函数，用于计算高斯-勒让德积分。高斯-勒让德积分是一种数值积分方法，通过将被积函数转化为与特定的勒让德多项式相乘的形式，然后使用数值求积的方式来计算被积函数的积分值。

该函数的语法为：

integral = gauss_legendre_int(fun, a, b, n)

其中：
- fun是传入的函数句柄，表示要进行积分的函数
- a和b是积分的上下限
- n是用于计算积分的高斯-勒让德多项式的阶数。

函数的输出是计算得到的积分值。

高斯-勒让德积分方法的原理是，通过选取合适的积分点和权重系数，将被积函数在积分区间内进行插值。然后使用插值函数对积分进行近似求解。高斯-勒让德积分具有高精度和收敛速度快的特点，适用于求解数值积分问题。

在使用gauss_legendre_int函数时，需要提供被积函数、积分区间以及高斯-勒让德多项式的阶数。可以根据问题的具体要求和精度需求来选择合适的阶数。较高阶数的方法可以提供更高的积分精度，但也会增加计算量。

使用gauss_legendre_int函数可以方便地进行高斯-勒让德积分计算，对于需要进行数值积分的问题，可以考虑使用这个函数来得到更精确的结果。

相关问题

复化三点gauss legendre matlab

### 复合三点Gauss-Legendre数值积分Matlab实现

#### 定义复合三点Gauss-Legendre积分原理
复合三点Gauss-Legendre积分是基于将整个积分区间分割成多个子区间，在每个子区间上应用三点Gauss-Legendre求积公式。这种做法可以提高精度并适应更复杂的被积函数[^1]。

对于给定的积分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) ，如果采用n个分段，则第k个小区间为\([a_k,b_k]\)，其中\(a_k=a+(k-1)h\) 和 \(b_k=a+k h\)，这里步长 \(h=(b-a)/n\) 。在每一个这样的小区间里执行标准的三点Gauss-Legendre求积过程。

#### MATLAB代码示例
下面是一个简单的MATLAB脚本，实现了上述描述的方法：

function I = composite_gauss_legendre_3pts(f,a,b,n)
%COMPOSITE_GAUSS_LEGENDRE_3PTS Composite three-point Gauss-Legendre quadrature.
%   I = COMPOSITE_GAUSS_LEGENDRE_3PTS(F,A,B,N) approximates the integral of F from A to B using N subintervals.

if nargin<4 || isempty(n), n=1; end % Default number of intervals is 1 if not specified or empty input provided.

w=[0.5555555555555556, 0.8888888888888888, 0.5555555555555556]; % Weights for three point rule
xg=[-sqrt(3/5), 0, sqrt(3/5)];                                  % Abscissas (roots)

h=(b-a)/n;
I=0;

for k=1:n,
    ak=a+(k-1)*h;
    bk=ak+h;
    
    x=((bk-ak)./2).*xg+(bk+ak)./2;% Transform abscissa points into current interval
    
    Ik=w(1)*(feval(f,x(1)))+...
        w(2)*(feval(f,x(2)))+...
        w(3)*(feval(f,x(3)));
        
    I=I+Ik*(bk-ak)/2;
end

此函数接受四个参数：待积函数`f`、下限`a`、上限`b`以及划分的数量`n`。它返回的是近似的积分值 `I`。注意这里的权重和节点位置已经预先设定好，对应于三个点的情况下的最优配置。

为了测试这段代码的效果，可以选择一些已知精确解的例子来进行比较验证其准确性。

数值计算下列各式右端定积分的近似值 实验要求：若用Gauss-Legendre公式做计算，要求绝对误差限为 ，然后采用上述算法编程计算出上述积分，并给出计算量。

为了使用 Gauss-Legendre 公式计算定积分的近似值，需要先确定积分区间、积分阶数和节点权重。对于下列各式，积分区间均为 $[0,1]$，因此只需确定积分阶数和节点权重。

1. $\int_0^1 x^2 e^{-x} dx$

对于这个积分，可以使用 3 阶 Gauss-Legendre 公式计算。对应的节点和权重为：

$$x_1 = 0.1127016654, \quad x_2 = 0.5, \quad x_3 = 0.8872983346$$

$$w_1 = 0.2777777778, \quad w_2 = 0.4444444444, \quad w_3 = 0.2777777778$$

然后，可以使用以下 MATLAB 代码计算积分的近似值：

   % 定义被积函数
   f = @(x) x.^2 .* exp(-x);

   % 定义节点和权重
   x = [0.1127016654, 0.5, 0.8872983346];
   w = [0.2777777778, 0.4444444444, 0.2777777778];

   % 计算积分近似值
   approx_val = sum(w .* f(x));

   % 输出结果
   fprintf('The approximate value of the integral is: %f\n', approx_val);

在上述代码中，使用了 `sum` 函数来计算节点权重和被积函数在节点上的取值的乘积之和，从而得到积分的近似值。

假设要求的绝对误差限为 $10^{-6}$，则需要计算的节点数为 $3$，计算量为 $3$ 次函数值计算和 $3$ 次乘法运算。

2. $\int_0^1 \frac{4}{1+x^2} dx$

对于这个积分，可以使用 4 阶 Gauss-Legendre 公式计算。对应的节点和权重为：

$$x_1 = 0.0890144915, \quad x_2 = 0.4688737227, \quad x_3 = 0.831759661, \quad x_4 = 0.987992518, $$

$$w_1 = 0.217847769, \quad w_2 = 0.411751161, \quad w_3 = 0.411751161, \quad w_4 = 0.217847769$$

然后，可以使用以下 MATLAB 代码计算积分的近似值：

   % 定义被积函数
   f = @(x) 4 ./ (1 + x.^2);

   % 定义节点和权重
   x = [0.0890144915, 0.4688737227, 0.831759661, 0.987992518];
   w = [0.217847769, 0.411751161, 0.411751161, 0.217847769];

   % 计算积分近似值
   approx_val = sum(w .* f(x));

   % 输出结果
   fprintf('The approximate value of the integral is: %f\n', approx_val);

假设要求的绝对误差限为 $10^{-6}$，则需要计算的节点数为 $4$，计算量为 $4$ 次函数值计算和 $4$ 次乘法运算。

上述代码中，使用了 `sum` 函数来计算节点权重和被积函数在节点上的取值的乘积之和，从而得到积分的近似值。