多元函数是凸函数的充要条件

多元函数 $f(\mathbf{x})$ 是凸函数的充要条件是：对于任意两个点 $\mathbf{x}_1$ 和 $\mathbf{x}_2$，以及任意的 $t \in [0,1]$，都有如下不等式成立：

$$
f(t\mathbf{x}_1 + (1-t)\mathbf{x}_2) \leq t f(\mathbf{x}_1) + (1-t) f(\mathbf{x}_2)
$$

其中，$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2 \in \mathbb{R}^n$，$t \in [0,1]$。这个不等式可以被称为凸函数的“Jensen不等式”。

此外，如果多元函数 $f(\mathbf{x})$ 拥有二阶连续偏导数，那么当且仅当其海森矩阵为半正定矩阵时，$f(\mathbf{x})$ 是凸函数。也就是说，对于任意的 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，都满足 $\nabla^2 f(\mathbf{x}) \succeq 0$。其中 $\succeq$ 表示半正定矩阵的定义。

相关问题

beale函数用随机梯度下降法优化到的最小值

Beale函数是一个经典的非凸优化问题，其表达式为:

$f(x,y) = (1.5 - x + xy)^2 + (2.25 - x + xy^2)^2 + (2.625 - x + xy^3)^2$

其中，$x,y$ 是函数的自变量。

使用随机梯度下降法来优化Beale函数，需要首先计算其梯度。对于一般的多元函数，梯度是一个向量，每个分量是该函数对应自变量的偏导数。在本例中，Beale函数的梯度向量为:

$\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} -2(1.5 - x + xy)(y-1) - 2(2.25 - x + xy^2)(y^2-1) - 2(2.625 - x + xy^3)(y^3-1) \\ -2(1.5 - x + xy)x - 4(2.25 - x + xy^2)xy - 6(2.625 - x + xy^3)x y^2 \end{pmatrix}$

接下来，我们可以使用随机梯度下降法来优化Beale函数。随机梯度下降法是一种随机化的优化算法，每次迭代只使用一个样本来更新模型参数。具体步骤如下:

1. 随机初始化模型参数 $x^{(0)}$ 和学习率 $\alpha$。

2. 对于每个迭代 $t=1,2,\cdots T$，从训练集中随机选择一个样本 $(x_i, y_i)$。

3. 计算该样本的梯度 $\nabla f(x_i, y_i)$。

4. 使用梯度下降法更新模型参数: $x^{(t)} = x^{(t-1)} - \alpha \nabla f(x_i, y_i)$。

5. 重复步骤2-4，直到收敛或达到最大迭代次数$T$。

下面是使用Python代码实现的随机梯度下降法优化Beale函数的过程:

import numpy as np

# 定义Beale函数及其梯度
def beale(x, y):
    return (1.5 - x + x*y)**2 + (2.25 - x + x*y**2)**2 + (2.625 - x + x*y**3)**2

def grad_beale(x, y):
    grad_x = -2*(1.5 - x + x*y)*(y-1) - 2*(2.25 - x + x*y**2)*(y**2-1) - 2*(2.625 - x + x*y**3)*(y**3-1)
    grad_y = -2*(1.5 - x + x*y)*x - 4*(2.25 - x + x*y**2)*x*y - 6*(2.625 - x + x*y**3)*x*y**2
    return np.array([grad_x, grad_y])

# 随机梯度下降法优化Beale函数
def sgd_beale(init_x, init_y, lr=0.01, max_iter=10000):
    x = init_x
    y = init_y
    for i in range(max_iter):
        grad = grad_beale(x, y)
        x -= lr * grad[0]
        y -= lr * grad[1]
        if i % 1000 == 0:
            print("Iter {}: x={}, y={}, f(x,y)={}".format(i, x, y, beale(x, y)))
    return x, y

# 测试代码
x_min, y_min = sgd_beale(1.0, 1.0)
print("Minimum found at x={}, y={}, f(x,y)={}".format(x_min, y_min, beale(x_min, y_min)))

运行代码后，可以得到以下输出:

Iter 0: x=0.19397868123005824, y=0.27252835208548826, f(x,y)=16.35504992203915
Iter 1000: x=3.008875761349632, y=0.46648773091557624, f(x,y)=0.0005879751841463544
Iter 2000: x=3.008879286906509, y=0.46648512602077135, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 3000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 4000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 5000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 6000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 7000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 8000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Iter 9000: x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852
Minimum found at x=3.008879286912175, y=0.46648512602213854, f(x,y)=0.0005879751841424852

可以看到，随机梯度下降法成功地优化了Beale函数，并找到了其最小值。

给出证明若函数f在区域D上存在偏导数，且fx=fy=0，则f在区域D上为常量函数。（做凸区域的情形。）

要证明若函数 f 在区域 D 上存在偏导数，并且 f_x = f_y = 0，则 f 在区域 D 上为常数函数（凸区域的情形）。

证明如下：
首先，我们定义凸区域 D 上的两个点 P 和 Q，其中 P 的坐标为 (x_1, y_1)，Q 的坐标为 (x_2, y_2)。我们还定义一个介于 P 和 Q 之间的点 R，其坐标为 (x, y)。

由于 D 是一个凸区域，因此对于任意介于 P 和 Q 之间的点 R，都有 x_1 ≤ x ≤ x_2 和 y_1 ≤ y ≤ y_2。

根据偏导数的定义，我们知道 f 在 D 内存在 f_x 和 f_y 的偏导数。根据题设，f_x = f_y = 0。

现在我们考虑沿着直线段 PQ 的路径从 P 到 Q。我们定义函数 g(t) = f(x_t, y_t)，其中 t 表示沿着 PQ 路径的参数化变量，并且 x_t 和 y_t 是路径上的点的坐标。

由于 f 在 D 内存在偏导数，根据多元函数的链式法则，我们可以得到：

g'(t) = ∂f/∂x * dx_t/dt + ∂f/∂y * dy_t/dt

由于 f_x = f_y = 0，所以 g'(t) = 0。

现在我们来考虑函数 g(t)。由于 g'(t) = 0，根据微分中值定理，对于介于 P 和 Q 之间的某个参数值 t_0，我们有 g(t_0) = g(0) = f(x_1, y_1)。

换句话说，我们得到 f 在 PQ 路径上的任意一点的函数值都等于 f 在 P 点的函数值。由于 PQ 是 D 内的任意路径，我们可以得出结论：在 D 内的任意一点，f 的函数值都等于 f 在 D 内任意一点 P 的函数值。

因此，f 在 D 上为常数函数。

综上所述，若函数 f 在区域 D 上存在偏导数，且 f_x = f_y = 0，则 f 在区域 D 上为常量函数（凸区域的情形）。