Rosenbrock模拟退火

Rosenbrock函数是一个非凸的多元函数，在优化问题中经常被用来测试算法的优化能力。而模拟退火算法则是一种基于概率的全局优化算法，适用于解决实际问题中的复杂优化问题。下面是Rosenbrock模拟退火的实现步骤：

1. 定义Rosenbrock函数：

$$f(x,y) = (a-x)^2+b(y-x^2)^2$$

其中，a和b为常数。

2. 设定初始解$x_0$和温度$T_0$。

3. 在当前温度下，随机生成新解$x'$。

4. 计算新解的目标函数值$f(x')$和当前解的目标函数值$f(x)$。

5. 若新解的目标函数值$f(x')$小于等于当前解的目标函数值$f(x)$，则接受新解$x'$。

6. 若新解的目标函数值$f(x')$大于当前解的目标函数值$f(x)$，则以一定概率接受新解$x'$，概率为：

$$p(e,T)=\exp(-\frac{e}{kT})$$

其中，$e=f(x')-f(x)$，$T$为当前温度，$k$为Boltzmann常数。

7. 重复步骤3~6直到满足终止条件。

8. 降低温度$T$，并重复步骤3~7，直到满足终止条件。

9. 输出最优解。

需要注意的是，Rosenbrock函数在$a=1$，$b=100$时，具有一个窄长的沟槽，在优化时很难找到全局最优解。因此，需要合理设置初始解和温度以克服局部最优问题。

相关问题

模拟退火算法求Rosenbrock

Rosenbrock函数是一个经典的非凸优化问题，其函数形式为：

f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2

其中，x和y是变量。

下面介绍如何使用模拟退火算法求解Rosenbrock函数的最小值。

1. 定义初始状态

首先需要定义初始状态。可以随机生成一个初始状态，即随机生成x和y的值。例如，假设x和y的取值范围均为[-5,5]，则可以使用如下代码生成一个初始状态：

import random

x = random.uniform(-5, 5)
y = random.uniform(-5, 5)

state = (x, y)

2. 定义能量函数

接下来需要定义能量函数。Rosenbrock函数就是我们要求解的能量函数。可以使用如下代码定义Rosenbrock函数：

def rosenbrock(x, y):
    return (1 - x)**2 + 100 * (y - x**2)**2

3. 定义邻域函数

模拟退火算法需要定义邻域函数，用于生成新的状态。可以使用如下代码定义邻域函数：

def neighbor(state):
    x, y = state
    dx = random.uniform(-0.5, 0.5)
    dy = random.uniform(-0.5, 0.5)
    return (x+dx, y+dy)

该邻域函数会在当前状态的基础上，随机生成一个小的偏移量，生成新的状态。

4. 定义温度函数

模拟退火算法需要定义温度函数，用于控制搜索过程中的温度变化。可以使用如下代码定义温度函数：

def temperature(step):
    return max(0.01, 1 - step/1000)

该温度函数会随着搜索步数的增加而降低温度。

5. 定义搜索函数

最后，可以定义搜索函数，使用模拟退火算法搜索Rosenbrock函数的最小值。可以使用如下代码定义搜索函数：

def simulated_annealing(start_state, energy_func, neighbor_func, temperature_func):
    state = start_state
    energy = energy_func(*state)

    for step in range(10000):
        new_state = neighbor_func(state)
        new_energy = energy_func(*new_state)
        delta_energy = new_energy - energy

        if delta_energy < 0 or random.random() < math.exp(-delta_energy/temperature_func(step)):
            state = new_state
            energy = new_energy

    return state, energy

该搜索函数会在初始状态的基础上，不断地生成新的状态，并计算每个状态的能量值。如果新状态的能量值更低，那么就接受该状态；否则，以一定的概率接受该状态。随着搜索步数的增加，温度会降低，使得接受劣解的概率逐渐降低。

6. 运行搜索函数

最后，可以运行搜索函数，求解Rosenbrock函数的最小值。可以使用如下代码运行搜索函数：

import math

start_state = (0, 0)
final_state, final_energy = simulated_annealing(start_state, rosenbrock, neighbor, temperature)

print("Final state:", final_state)
print("Final energy:", final_energy)

该代码会输出最小值的状态和能量值。

模拟退火算法求解rosenbrock 函数

Rosenbrock函数是一个经典的优化问题，其公式如下：

$f(x,y)=(1-x)^2+100(y-x^2)^2$

其中，$x,y$为自变量，$f(x,y)$为目标函数。我们可以使用模拟退火算法来求解这个问题。

模拟退火算法的基本思路是，从一个初始解出发，通过随机扰动得到一个新的解，并根据一定的策略来决定是否接受新解。通过不断重复这个过程，逐渐接近最优解。

具体实现中，我们可以先确定一个初始解$x_0$，然后设定一个初始温度$T_0$，以及一个降温速率$r$。在每个温度下，我们重复执行以下步骤：

1. 随机扰动当前解$x_i$，得到一个新的解$x_j$；
2. 计算新解的目标函数值$f(x_j)$和当前解的目标函数值$f(x_i)$；
3. 根据一定的策略来决定是否接受新解。常用的策略有Metropolis准则和Boltzmann准则等。

在每个温度下重复执行若干次上述步骤，直到达到一个平衡状态。然后降温，并重复执行上述步骤，直到温度降至足够低，或者达到一定的迭代次数。

下面是使用Python实现模拟退火算法求解Rosenbrock函数的示例代码：

import math
import random

def rosenbrock(x, y):
    return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x ** 2) ** 2

def simulated_annealing(T0, r, n_iter):
    x = random.uniform(-5, 5)
    y = random.uniform(-5, 5)
    fx = rosenbrock(x, y)
    T = T0
    for i in range(n_iter):
        T *= r
        for j in range(100):
            dx = random.uniform(-1, 1)
            dy = random.uniform(-1, 1)
            x1 = x + dx
            y1 = y + dy
            fx1 = rosenbrock(x1, y1)
            delta = fx1 - fx
            if delta < 0 or math.exp(-delta / T) > random.uniform(0, 1):
                x, y, fx = x1, y1, fx1
    return x, y, fx

if __name__ == '__main__':
    x, y, fx = simulated_annealing(T0=1, r=0.95, n_iter=100)
    print('x =', x)
    print('y =', y)
    print('f(x,y) =', fx)

在上述代码中，我们先定义了Rosenbrock函数和模拟退火算法的实现。在模拟退火算法中，我们设定了初始温度$T_0=1$，降温速率$r=0.95$，以及迭代次数$n_{iter}=100$。然后从一个随机初始解出发，通过随机扰动得到新解，并根据Metropolis准则来决定是否接受新解。最后输出求解结果。

需要注意的是，模拟退火算法的求解结果可能受到初始解、温度和降温速率等参数的影响，因此需要进行多次运行，并取最优解作为最终结果。