平衡二叉树的插入和删除
时间: 2023-11-06 13:06:22 浏览: 53
平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树,它能够保证在最坏情况下的时间复杂度为 O(log n)。常见的平衡二叉树有 AVL 树、红黑树等。
平衡二叉树的插入和删除操作都需要保持树的平衡性。以下以 AVL 树为例说明。
AVL 树是一种带有平衡条件的二叉搜索树,它要求所有节点的左右子树高度差不超过 1。插入和删除节点时,需要通过旋转操作来保持平衡。
1. 插入节点
插入节点时,首先按照二叉搜索树的规则将节点插入到树中。然后从插入节点的父节点开始,向上遍历直到根节点,检查每个节点是否平衡,如果不平衡,需要进行旋转操作来重新平衡。
a. 左旋转(LL)
当插入节点导致节点的左子树高度比右子树高度大 2 时,需要进行左旋转。左旋转的过程如下:
1) 将节点的右子节点的左子树挂到节点的右子节点的左子树上;
2) 将节点的右子节点替换为原右子节点的左子节点;
3) 将节点的父节点指向原右子节点;
4) 将原右子节点的左子节点指向节点。
b. 右旋转(RR)
当插入节点导致节点的右子树高度比左子树高度大 2 时,需要进行右旋转。右旋转的过程如下:
1) 将节点的左子节点的右子树挂到节点的左子节点的右子树上;
2) 将节点的左子节点替换为原左子节点的右子节点;
3) 将节点的父节点指向原左子节点;
4) 将原左子节点的右子节点指向节点。
c. 先右旋转后左旋转(RL)
当插入节点导致节点的右子树高度比左子树高度大 1,且节点的右子节点的左子树高度比右子树高度大 1 时,需要进行先右旋转后左旋转。先右旋转后左旋转的过程如下:
1) 对节点的右子节点进行右旋转;
2) 对节点进行左旋转。
d. 先左旋转后右旋转(LR)
当插入节点导致节点的左子树高度比右子树高度大 1,且节点的左子节点的右子树高度比左子树高度大 1 时,需要进行先左旋转后右旋转。先左旋转后右旋转的过程如下:
1) 对节点的左子节点进行左旋转;
2) 对节点进行右旋转。
2. 删除节点
删除节点时,首先按照二叉搜索树的规则将节点从树中删除。然后从删除节点的父节点开始,向上遍历直到根节点,检查每个节点是否平衡,如果不平衡,需要进行旋转操作来重新平衡。
a. 左旋转(LL)
当删除节点导致节点的左子树高度比右子树高度大 2 时,需要进行左旋转。左旋转的过程与插入节点时的左旋转相同。
b. 右旋转(RR)
当删除节点导致节点的右子树高度比左子树高度大 2 时,需要进行右旋转。右旋转的过程与插入节点时的右旋转相同。
c. 先右旋转后左旋转(RL)
当删除节点导致节点的右子树高度比左子树高度大 1,且节点的右子节点的左子树高度比右子树高度大 1 时,需要进行先右旋转后左旋转。先右旋转后左旋转的过程与插入节点时的先右旋转后左旋转相同。
d. 先左旋转后右旋转(LR)
当删除节点导致节点的左子树高度比右子树高度大 1,且节点的左子节点的右子树高度比左子树高度大 1 时,需要进行先左旋转后右旋转。先左旋转后右旋转的过程与插入节点时的先左旋转后右旋转相同。
以上就是平衡二叉树的插入和删除操作,通过旋转操作可以保证树的平衡性。