让我们定义d n ​ 为：d n ​ =p n+1 ​ −p n ​ ，其中p i ​ 是第i个素数。显然有d 1 ​ =1，且对于n>1有d n ​ 是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。 现给定任意正整数n(<10 5 )，请计算不超过n的满足猜想的素数对的个数

题目描述：定义d(n)为：d(n)=p(n+1)-p(n)，其中p(i)是第i个素数。显然有d(1)=1，对于n>1有d(n)是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

要求：给定任意正整数n（<10^5），请计算不超过n的满足“素数对猜想”想要的素数对个数。

回答：题目就是让我们求出不超过n的满足条件的素数对的数量。

朴素算法是枚举n以内的所有偶数，再判断它们是否都能表示成两个素数之和，复杂度为O(n^2)。优化算法是先预处理出n以内的素数，再扫描一遍这些素数，统计它们与它们后面的素数之间是否差为2，复杂度为O(nloglogn)。

具体实现可参考如下python代码：

相关问题

让我们定义d n ​ 为：d n ​ =p n+1 ​ −p n ​ ，其中p i ​ 是第i个素数。显然有d 1 ​ =1，且对于n>1有d n ​ 是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

### 回答1：
题目要我们确定一个数列d[n]，其中d[n]=p[n+1]-p[n]，其中p[i]是第i个素数。当然有d[1]=1，对于n>1有d[n]是偶数。题目要求我们证明“素数对猜想”，即存在无穷多个形如(p, p+2)的素数对。

该猜想的证明是基于反证法。如果假设可以找到所有形如(p, p+2)的素数对，那么我们考虑这些素数对的差值为2，也就是说，所有d[n]=2。但是我们已经知道，存在无穷多个d[n]是偶数，且已知d[1]=1。这意味着我们可以找到某个偶数d[k]，使得k>1，d[k]不等于2。这个偶数表示存在一个素数p[n]，使得p[n+1]=p[n]+d[k]不是素数，这与我们的前提假设相矛盾。因此，假设“素数对猜想”不成立，也就是说，存在无穷多个形如(p, p+2)的素数对。

### 回答2：
“素数对猜想”是指，存在无穷多对相邻且差为2的素数。这个猜想与定义dn？有什么关系呢？

首先，我们需要了解素数的概念。素数是指除了1和本身之外没有其他正整数能够整除它的数。例如，2、3、5、7、11、13都是素数。

根据素数的定义，显然1不是素数，因此在定义dn？中，我们并没有将1算作素数。而当n>1时，dn？是由若干个素数相乘得到的，因此dn？也一定不是素数。

那么，dn？与“素数对猜想”之间的联系是什么呢？

首先，若任意一个dn？都能分解为两个素数之积，那么“素数对猜想”就一定成立了。因为无论如何，只要找到两个相邻且差为2的素数，它们就可以表示成dn？的形式。反之，如果存在一些dn？不能分解为两个素数之积，那么就有可能不存在无穷多对相邻且差为2的素数。

实际上，目前并没有任何一个数学家能够证明“素数对猜想”的正确性或错误性。因此，对于这个猜想，数学家们仍在进行研究，试图找到证明或反驳它的方法。

无论“素数对猜想”是否成立，定义dn？都是一个有趣且重要的数学概念。它与素数的分布、质因数分解等问题密切相关，也是数学中的一个重要研究方向。

### 回答3：
首先，我们来解释一下题目中的符号和公式。

符号解释：

- d 表示一个数的因子数量，例如，d 12 表示 12 的因子数量（包括 1 和 12）。
- p i 表示第 i 个素数，例如，p 1 表示第一个素数 2，p 2 表示第二个素数 3，以此类推。
- ? 表示乘号，例如，d n ? = p n 1 ? × p n 2 ? × … × p n k ?

公式解释：

- d n ? 表示第 n 个数的因子数量，等于将其质因数分解后，每个质因数的指数加一再相乘得到的数。
- p n i 表示第 n 个素数中的第 i 个。

接下来，我们来探讨一下“素数对猜想”的问题。

“素数对猜想”是指，存在无穷多对相邻且差为 2 的素数。这个问题一直以来都是数学界的一个重要问题，至今尚未得到证明或否定。但是，许多数学家相信这个猜想是成立的，因为在很多情况下都得到了实验数据的支持。

我们来看一下与“素数对猜想”相关的公式，也就是孪生素数公式：

p n + 1 - p n = 2

其中，p n 和 p n + 1 分别表示第 n 个素数和第 n+1 个素数。这个公式表明，如果存在一对相邻的素数，那么它们的差就是 2。

接下来，我们利用题目中的公式来试着证明“素数对猜想”：

根据定义，d n ? = p n 1 ? × p n 2 ? × … × p n k ?。由于 d n ? 是偶数，所以至少有一个质因数是 2，即：

d n ? = p n 1 ? × p n 2 ? × … × p n k ? = 2 × m

其中，m 是一个正整数。然后，我们将公式两边取对数，得到：

ln d n ? = ln p n 1 ? + ln p n 2 ? + … + ln p n k ?

因为 ln 是单调递增的函数，所以有：

ln d n ? > ln p n 1 ? + ln p n 2 ? + … + ln p n k - 1 ?

接下来，我们来考虑一下相邻的素数之间可能存在的间隔。对于一个奇数 n，它可能表示成两个素数之差的形式，即：

n = p - q

其中，p 和 q 是两个素数。我们可以将上面的公式变形，得到：

d n ? = d p - q ? = d p × d q

因为 p 和 q 是素数，所以它们的因数只有 1 和它们自身，因此有：

d p = 2, d q = 2

所以：

d n ? = d p × d q = 2 × 2 = 4

即，当 n 表示成两个素数之差的形式时，d n ? = 4。

我们现在可以把这个结论带回到之前的式子中，得到：

ln d n ? > ln p n 1 ? + ln p n 2 ? + ln p n 3 ? + ln p n 4 ?

这里假设 p n 1 ? = p，p n 2 ? = p+2，p n 3 ? = p+4，p n 4 ? = p+6，即从 p 开始，每隔 2 取另外三个整数。根据之前的结论，当 p+2 和 p+4 都是素数时，有 d 2 ? = 4，即当 p 是某个大于 3 的奇数时，d p 2 2 ? > 4。

因此，我们可以得到：

ln d n ? > ln p n 1 ? + ln p n 2 ? + ln p n 3 ?

即：

d n ? > p n 1 ? × p n 2 ? × p n 3 ?

因为 p n 1 ?，p n 2 ? 和 p n 3 ? 是连续的三个素数，所以它们的乘积是连续的三个整数之积，即：

p n 1 ? × p n 2 ? × p n 3 ? = (p - 4) × (p - 2) × p = p 3 - 6p 2 + 4p

现在，我们可以对 p 进行任意的取值，只要它是大于 3 的奇数即可。因此，我们可以得到一个无穷的集合，其中每个元素都表示成两个素数之差的形式，且它们的差都是 2。此时，我们可以得到一个更强的结论：

存在无穷对相邻且差为 2 的素数。

虽然这个结论不能完全证明“素数对猜想”，但它为这个猜想提供了很好的支持。

7-4 素数对猜想 (10 分)\n让我们定义d \nn\n​\t\n 为：d \nn\n​\t\n =p \nn+1\n​\t\n −p \nn\n​\t\n ，其中p \ni\n​\t\n 是第i个素数。显然有d \n1\n​\t\n =1，且对

根据题目，我们需要求出公式“b'7-4 素数对猜想 (10 分)\n让我们定义d \nn\n为：d =p \n+1\n−p \nn\n，其中p \ni\n是第i个素数。显然有d \n1\n =1，对”中的d的定义。

其中，p \ni\n是指第i个素数，而d是差值。差值的定义为比相邻两个素数之间的距离。

所以我们需要先求出第7个素数和第4个素数，然后计算差值，即d =p \n+1\n−p \nn\n =第7个素数 + 1 - 第4个素数。

因为第7个素数是17，第4个素数是7，所以d = 17 + 1 - 7 = 11。

所以，所求的答案为d = 11。