\sup_{a\in A}{d(x,a)-\sup_{b\in B}d(a,b)} \ &= \sup_{a\in A}d(x,a)-\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}d(a,b) \什么意思
时间: 2023-08-13 16:07:17 浏览: 45
这是一个数学公式,表示左侧是一个关于集合 $A$ 和 $B$ 中点的距离和集合 $B$ 中点与集合 $A$ 中所有点的距离的最大值的函数,右侧是这个函数的一个等价形式。其中 $d(x,a)$ 表示点 $x$ 到点 $a$ 的距离,$\sup$ 表示上确界,$\inf$ 表示下确界。这个公式可以用于度量集合 $A$ 和 $B$ 之间的差异程度。
相关问题
$$\sup_{a \in A} \sup_{b \in B} (d(x,a) - d(a,b)) \geq \sup_{a \in A} \Big(\sup_{b \in B} (d(x,a) - d(x,b))\Big) \geq -\inf_{b \in B} \sup_{a \in A} d(a,b)$$数学语言
这个式子可以用数学语言来表示为:
$$\forall x \in X, A,B \subset X, \sup_{a \in A} \sup_{b \in B} (d(x,a) - d(a,b)) \geq \sup_{a \in A} \Big(\sup_{b \in B} (d(x,a) - d(x,b))\Big) \geq -\inf_{b \in B} \sup_{a \in A} d(a,b)$$
其中,$X$ 是一个度量空间,$d(x,a)$ 表示 $x$ 到 $a$ 的距离,$A$ 和 $B$ 是 $X$ 中的两个子集。这个式子说明,对于任意 $x \in X$,在 $A$ 中取一个点 $a$,在 $B$ 中取一个点 $b$,计算 $x$ 到 $a$ 的距离减去 $a$ 到 $b$ 的距离的最大值,得到的结果不小于在 $B$ 中取一个点 $b$,计算 $x$ 到 $b$ 的距离减去在 $A$ 中取一个点 $a$,计算 $x$ 到 $a$ 的距离的最大值,再取这些最大值中的最小值,且不小于 $-\inf_{b \in B} \sup_{a \in A} d(a,b)$。这个式子的意义在于度量集合 $A$ 和 $B$ 之间的差异程度。
度量空间A中到一个非空集合的下确界是一个连续函数,由于 $A$ 和 $B$ 的关系是互补的,因此 $x$ 到 $B$ 的下确界可以表示为: $$\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$$吗
是的,这个等式是成立的。为了证明它,我们可以分别证明 $\inf_{b\in B}d(x,b) \leq \sup_{a\in A}d(x,a)$ 和 $\inf_{b\in B}d(x,b) \geq \sup_{a\in A}d(x,a)$。
首先,对于任意 $a\in A$ 和 $b\in B$,有 $d(x,b) \leq d(x,a) + d(a,b)$,因此 $d(x,b) - d(x,a) \leq d(a,b)$。因此 $\sup_{a\in A}d(x,a) - d(x,b) \geq -d(a,b)$,所以 $\sup_{a\in A}d(x,a) - \inf_{b\in B}d(x,b) \geq -d(a,b)$。由于 $a$ 和 $b$ 是任意的,所以 $\sup_{a\in A}d(x,a) - \inf_{b\in B}d(x,b) \geq -\sup_{a\in A,b\in B}d(a,b)$。但是由于 $A$ 和 $B$ 是互补的,所以 $d(a,b) \geq \sup_{a\in A,b\in B}d(a,b)$ 对于任意 $a\in A$ 和 $b\in B$ 都成立。因此 $\sup_{a\in A}d(x,a) - \inf_{b\in B}d(x,b) \geq -\sup_{a\in A,b\in B}d(a,b) \geq 0$,即 $\inf_{b\in B}d(x,b) \leq \sup_{a\in A}d(x,a)$。
另一方面,对于任意 $b\in B$,我们有 $\inf_{b\in B}d(x,b) \leq d(x,b) \leq \sup_{a\in A}d(x,a)$,因此 $\inf_{b\in B}d(x,b) \leq \sup_{a\in A}d(x,a)$。
综上所述,$\inf_{b\in B}d(x,b) = \sup_{a\in A}d(x,a)$。
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