t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 计算||f||
时间: 2024-04-26 11:20:03 浏览: 15
根据题目中的定义,可以得知 $f(x)=x(t_0)$,其中 $t_0\in [a,b]$,且 $x(t_0)\in C[a,b]$,即 $x(t_0)$ 是连续函数。
因此,我们可以将 $f$ 看作是定义在 $C[a,b]$ 上的一个函数,其范数可以表示为:
$$
\begin{aligned}
\|f\|&=\sup_{\|x\|\neq 0}\frac{\|f(x)\|}{\|x\|}\\
&=\sup_{x(t_0)\in C[a,b],x(t_0)\neq 0}\frac{\|x(t_0)\|}{\|x\|}\\
&=\sup_{x(t_0)\in C[a,b],x(t_0)\neq 0}\frac{|x(t_0)|}{\sqrt{\int_a^b |x(t)|^2 dt}}
\end{aligned}
$$
由于 $x(t_0)$ 是连续函数,因此可以将其看作是定义在 $[a,b]$ 上的一个实值函数,其范数可以表示为:
$$
\|x(t_0)\|=\max_{a\leq t_0\leq b}|x(t_0)|
$$
将其代入上式,可以得到:
$$
\begin{aligned}
\|f\|&=\sup_{x(t_0)\in C[a,b],x(t_0)\neq 0}\frac{|x(t_0)|}{\sqrt{\int_a^b |x(t)|^2 dt}}\\
&=\sup_{x(t_0)\in C[a,b],x(t_0)\neq 0}\frac{\max_{a\leq t_0\leq b}|x(t_0)|}{\sqrt{\int_a^b |x(t)|^2 dt}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{\inf_{a\leq t_0\leq b}\int_a^b |x(t)|^2 dt}}
\end{aligned}
$$
因此,根据以上推导,我们可以得到范数的计算公式为:
$$
\|f\|=\frac{1}{\sqrt{\inf_{a\leq t_0\leq b}\int_a^b |x(t)|^2 dt}}
$$
其中 $x(t_0)\in C[a,b]$ 且 $x(t_0)\neq 0$。
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