泛函t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 计算||f||
时间: 2024-03-07 22:54:19 浏览: 23
根据泛函的定义,||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b],||x|| ≤ 1},其中||x||表示x在C[a,b]上的范数。因为x(t0) ∈ [a,b],所以可以构造一个单位向量x∈C[a,b],满足x(t0) = 1,而x在其他点的取值为0。因此,有:
||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b],||x|| ≤ 1}
= sup{|x(t0)| : x ∈ C[a,b],||x|| ≤ 1}
= 1
因此,||f|| = 1。
相关问题
t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 证明f是线性泛函,且||f||=1
首先,我们需要证明f是线性泛函。
设x1 = x(t1), x2 = x(t2) ∈ C[a,b],其中t1, t2 ∈ [a,b],k1, k2 ∈ R,则有:
f(k1x1 + k2x2) = (k1x1 + k2x2)(t0)
= k1x1(t0) + k2x2(t0)
= k1f(x1) + k2f(x2)
因此,f是线性泛函。
接着,我们需要证明||f||=1。
由于f是线性泛函,我们可以利用范数的定义来计算||f||:
||f|| = sup{||f(x)||/||x|| : x ∈ C[a,b], x ≠ 0}
对于任意的x = x(t) ∈ C[a,b],我们有:
||f(x)|| = ||x(t0)|| = sup{|x(t0)| : t ∈ [a,b]}
||x|| = sup{|x(t)| : t ∈ [a,b]}
因此,
||f(x)||/||x|| = sup{|x(t0)| : t ∈ [a,b]}/sup{|x(t)| : t ∈ [a,b]}
由于t0 ∈ [a,b],所以对于任意的x = x(t) ∈ C[a,b],均有|x(t0)| ≤ sup{|x(t)| : t ∈ [a,b]},因此,
||f(x)||/||x|| ≤ 1
另一方面,当x = x(t0) 时,有||x|| = |x(t0)|,因此,
||f(x)||/||x|| = 1
综上所述,||f||=1,证毕。
t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 证明f是线性泛函,并计算||f||
首先,证明f是线性泛函。对于任意的x, y ∈ C[a,b],以及任意的实数α,有:
f(αx + y) = (αx + y)(t0) = αx(t0) + y(t0) = αf(x) + f(y)
因此,f是线性泛函。
接下来,计算||f||。根据泛函的定义,||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b],||x|| ≤ 1}。
对于任意的x ∈ C[a,b],有:
|f(x)| = |x(t0)| ≤ ||x||
因为||x|| ≤ 1,所以有|f(x)| ≤ 1。因此,||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b],||x|| ≤ 1} ≤ 1。
另一方面,对于任意的ε > 0,可以构造一个函数x ∈ C[a,b],使得||x|| = 1,且满足|x(t0)| > 1 - ε。例如,可以取x(t) = 1 - ε + 2ε(t - a)/(b - a),则有:
||x|| = (∫[a,b] (1 - ε + 2ε(t - a)/(b - a))^2 dt)^0.5 = (∫[a,b] 4ε^2(t - a)^2/(b - a)^2 dt)^0.5 = (4ε^2(b - a)^3/3(b - a)^2)^0.5 = (4ε^2(b - a)/3)^0.5 ≤ 1
同时,有:
|f(x)| = |x(t0)| > 1 - ε
因此,||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b],||x|| ≤ 1} ≥ 1 - ε。
综上所述,||f|| = 1。