t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 证明f是线性泛函，并计算||f||

首先，证明f是线性泛函。对于任意的x, y ∈ C[a,b]，以及任意的实数α，有：

f(αx + y) = (αx + y)(t0) = αx(t0) + y(t0) = αf(x) + f(y)

因此，f是线性泛函。

接下来，计算||f||。根据泛函的定义，||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b]，||x|| ≤ 1}。

对于任意的x ∈ C[a,b]，有：

|f(x)| = |x(t0)| ≤ ||x||

因为||x|| ≤ 1，所以有|f(x)| ≤ 1。因此，||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b]，||x|| ≤ 1} ≤ 1。

另一方面，对于任意的ε > 0，可以构造一个函数x ∈ C[a,b]，使得||x|| = 1，且满足|x(t0)| > 1 - ε。例如，可以取x(t) = 1 - ε + 2ε(t - a)/(b - a)，则有：

||x|| = (∫[a,b] (1 - ε + 2ε(t - a)/(b - a))^2 dt)^0.5 = (∫[a,b] 4ε^2(t - a)^2/(b - a)^2 dt)^0.5 = (4ε^2(b - a)^3/3(b - a)^2)^0.5 = (4ε^2(b - a)/3)^0.5 ≤ 1

同时，有：

|f(x)| = |x(t0)| > 1 - ε

因此，||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b]，||x|| ≤ 1} ≥ 1 - ε。

综上所述，||f|| = 1。

相关问题

t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 计算||f||

根据泛函的定义，||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b]，||x|| ≤ 1}，其中||x||表示x在C[a,b]上的范数。因为x(t0) ∈ [a,b]，所以可以构造一个单位向量x∈C[a,b]，满足x(t0) = 1，而在其他点的取值为0。因此，有：

||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ C[a,b]，||x|| ≤ 1}
= sup{|x(t0)| : x ∈ C[a,b]，||x|| ≤ 1}
= 1

因此，||f|| = 1。

t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 求||f||

根据范数的定义，有：

||f|| = sup||f(x)||

其中，sup表示上确界（即最小的上界）。对于任意的 x=x(t0)∈C[a,b]，有：

||f(x)|| = ||x(t0)||

因为 x(t0) 是一个实数，所以它的模就是它本身。因此：

||f(x)|| = |x(t0)|

因为 t0∈[a,b]，所以 |x(t0)| 的最大值就是 |x(b)| 或者 |x(a)|。因此：

||f|| = sup||f(x)|| = sup{|x(t0)|} = max{|x(b)|, |x(a)|}

综上所述，||f|| 的值等于函数 x 在区间 [a,b] 的端点处的模的最大值。