证明对每一个切比雪夫多项式tn(x),有积分=二分之pai

切比雪夫多项式是一类特殊的多项式，它们具有一些很有意思的性质。其中之一就是针对切比雪夫多项式的积分，我们可以证明对于任何一个切比雪夫多项式tn(x)，其在区间[-1, 1]上的积分都等于π/2。

证明：

我们可以通过切比雪夫多项式的递推式来证明这个结论。设Tn(x)为切比雪夫多项式的第n项，则递推公式为：

T0(x) = 1

T1(x) = x

Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)

根据积分的线性性，我们可以将积分I(n)分解为两个部分，分别为I1(n)和I2(n)：

I(n) = ∫[-1,1]Tn(x)dx

I1(n) = ∫[-1,1]T0(x)dx + ∫[-1,1]T1(x)dx + … + ∫[-1,1]Tn-1(x)dx

I2(n) = ∫[-1,1]2xTn-1(x)dx - ∫[-1,1]Tn-2(x)dx

对于I1(n)来说，我们可以发现它是一个奇函数，即其在区间[-1, 1]上积分为0。这是因为对于任意的偶数n，Tn(x)中含有偶次项，而奇函数在[-1,1]上的积分为0，故I1(n)等于0。

对于I2(n)来说，我们可以通过递推式计算出它的值。首先，我们可以将2xTn-1(x)表示为Tn(x)+Tn-2(x)，即：

2xTn-1(x) = Tn(x)+Tn-2(x)

那么有：

I2(n) = ∫[-1,1](Tn(x)+Tn-2(x))dx - ∫[-1,1]Tn-2(x)dx

= I(n) + I2(n-2) - I(n-2)

= I2(n-2)

因而，我们可以套用归纳假设，由I2(0) = π/2 可得 I2(n) = π/2 成立，从而得出结论：

对于任意的n，有I(n) = π/2，即对于任意的切比雪夫多项式tn(x)，其在区间[-1,1]上的积分都等于π/2。