证明切比雪夫多项式 Tn 满足微分方程 (1 − x 2 )T ′′ − xT′ + n 2T = 0.
时间: 2023-10-29 14:20:36 浏览: 38
我们可以通过直接对切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 进行求导,然后代入微分方程中进行验证。
首先,切比雪夫多项式的定义式为:
$$T_n(x) = \cos(n \arccos(x))$$
对其求导有:
$$T_n'(x) = -n \sin(n \arccos(x)) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
再次对其求导有:
\begin{align*}
T_n''(x) &= -n^2 \cos(n \arccos(x)) \frac{1}{1-x^2} + n \sin(n \arccos(x)) \frac{2x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} \\
&= -n^2 T_n(x) \frac{1}{1-x^2} + n \frac{T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \frac{2x}{1-x^2} \\
&= -n^2 T_n(x) \frac{1}{1-x^2} + \frac{n}{1-x^2} T_n(x) x \\
&= -n^2 T_n(x) \frac{1}{1-x^2} + \frac{n}{2} (T_n(x))' \\
\end{align*}
将 $T_n(x)$ 和 $T_n''(x)$ 代入微分方程中,得到:
$$(1-x^2)T_n''(x) - xT_n'(x) + n^2 T_n(x) = 0$$
将 $T_n''(x)$ 的表达式代入,得到:
$$(1-x^2)\left(-n^2 T_n(x) \frac{1}{1-x^2} + \frac{n}{2} (T_n(x))'\right) - x\left(-n \sin(n \arccos(x)) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) + n^2 T_n(x) = 0$$
化简后得到:
$$2x(T_n(x))' - n^2 T_n(x) = 0$$
这是切比雪夫多项式满足的微分方程,与给定的微分方程形式一致。因此,切比雪夫多项式 Tn 满足微分方程 (1 − x 2 )T′′ − xT′ + n 2T = 0。