3.使用Chebyshev定理3.7求f(x)=5x^3-x^2+x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式

Chebyshev定理3.7的表述为：设$f(x)\in C[a,b]$，则在$[a,b]$上，最佳的n次逼近多项式是唯一确定的，且是n次切比雪夫多项式$T_n(x)$与$f(x)$的n次正交多项式$Q_n(x)$的乘积的线性组合，即$$P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kT_k(x)$$ 其中$c_k=\frac{2-\delta_{k0}}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)T_k(x_i)w_i$，$w_i=\frac{\pi}{n}$或$w_i=\frac{\pi}{2n}$。

对于本题，我们需要求$f(x)=5x^3-x^2+x-1$在$[-1,1]$上的最佳二次逼近多项式。

首先我们需要计算$n=2$时的切比雪夫多项式$T_2(x)$和其相应的正交多项式$Q_2(x)$。

根据定义，$T_2(x)=2x^2-1$，$Q_2(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}(4x^2-1)$。

然后，我们需要选择$n=3$的Chebyshev多项式的三个节点$x_0,x_1,x_2$。根据Chebyshev节点的定义，我们选择$x_0=-\cos\frac{\pi}{3}= -\frac{1}{2}$，$x_1=0$，$x_2=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$。

根据公式$c_k=\frac{2-\delta_{k0}}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)T_k(x_i)w_i$，我们可以计算系数$c_0,c_1,c_2$的值。

$c_0=\frac{1}{3}\left(f(-\frac{1}{2})T_0(-\frac{1}{2})w_0+f(0)T_0(0)w_1+f(\frac{1}{2})T_0(\frac{1}{2})w_2\right)=\frac{1}{3}(f(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}))=-\frac{11}{12}$

$c_1=\frac{2}{3}\left(f(-\frac{1}{2})T_1(-\frac{1}{2})w_0+f(0)T_1(0)w_1+f(\frac{1}{2})T_1(\frac{1}{2})w_2\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}(f(-\frac{1}{2})-f(\frac{1}{2}))=\frac{11\sqrt{3}}{18}$

$c_2=\frac{1}{3}\left(f(-\frac{1}{2})T_2(-\frac{1}{2})w_0+f(0)T_2(0)w_1+f(\frac{1}{2})T_2(\frac{1}{2})w_2\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}(f(-\frac{1}{2})+f(\frac{1}{2}))=\frac{1}{36}$

因此，我们得到了最佳的二次逼近多项式为$P_2(x)=-\frac{11}{12}+\frac{11\sqrt{3}}{9}(2x^2-1)+\frac{1}{36}(4x^2-1)=\frac{33}{4}x^2-\frac{11}{4}$。

最后，我们可以验证一下这个多项式确实是$f(x)$在$[-1,1]$上的最佳二次逼近多项式。

根据公式$f(x)-P_2(x)=\frac{Q_2(x)}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)Q_2(t)}{\sqrt{1-t^2}}(f(t)-P_2(t))dt$，我们可以计算误差函数$E(x)=f(x)-P_2(x)$。

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^2-1)}{\sqrt{1-t^2}}(5t^3-t^2+t-1-\frac{33}{4}t^2+\frac{11}{4})dt$

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^2-1)}{\sqrt{1-t^2}}(\frac{1}{4}t^3-t^2+t-\frac{11}{4})dt$

$E(x)=\frac{1}{4\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(2x-2t)(4t^2-1)}{\sqrt{1-t^2}}(t^3-2t^2+2t-\frac{11}{4})dt$

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^3-8t^2+8t-3)}{\sqrt{1-t^2}}dt$

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^3-3-8t^2+8t-3)}{\sqrt{1-t^2}}dt$

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^3-8t^2+8t-3)}{\sqrt{1-t^2}}dt$

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{4tx^3-8tx^2+8tx-3x-4t^4+8t^3-8t^2+3t}{\sqrt{1-t^2}}dt$

$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\int_{-1}^1\frac{(4tx^3-8tx^2+8tx-3x)}{\sqrt{1-t^2}}dt-\int_{-1}^1\frac{(4t^4-8t^3+8t^2-3t)}{\sqrt{1-t^2}}dt\right)$

通过计算可以得到：

$\int_{-1}^1\frac{(4tx^3-8tx^2+8tx-3x)}{\sqrt{1-t^2}}dt=0$

$\int_{-1}^1\frac{(4t^4-8t^3+8t^2-3t)}{\sqrt{1-t^2}}dt=0$

因此，$E(x)=0$，即$P_2(x)$是$f(x)$在$[-1,1]$上的最佳二次逼近多项式。