设f(z)= x2+ 3x +2, x E [0,1],试求f(x)在[0,1]上关于 p(x)= 1, = span{1,.a}的最佳平方逼近多项式.若取span{1, x, x2},则最佳平方逼近多项式是什么?

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对于您的问题，根据最佳平方逼近的定义，我们可以使用正交多项式来逼近f(x)。在[0,1]上，Chebyshev多项式T0(x), T1(x), T2(x)......是正交的，因此可以使用它们来逼近f(x)。

首先，我们需要计算f(x)在[0,1]上关于p(x)=1的内积和||p(x)||^2：

∫_0^1 f(x)p(x)dx = ∫_0^1 (x^2 - 3x + 2)dx = -1/3

||p(x)||^2 = ∫_0^1 p(x)^2dx = ∫_0^1 dx = 1

因此，可以计算最佳平方逼近多项式g(x)：

g(x) = ∑_(i=0)^2 αiTi(x)

其中Ti(x)是第i个Chebyshev多项式，αi是系数。由于Chebyshev多项式有如下递推关系：

T0(x) = 1
T1(x) = x
Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x)

因此可得：

T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2x^2 - 1

根据最佳平方逼近的定义，我们需要使||f(x) - g(x)||^2最小化。因此，我们可以计算每个Ti(x)在[0,1]上与f(x)的内积，然后解出系数αi：

∫_0^1 Ti(x)f(x)dx = αi∫_0^1 Ti(x)^2dx

根据 Chebyshev 多项式的正交性，可以得到：

∫_0^1 Ti(x)f(x)dx = αi||Ti(x)||^2

因此，可以求得：

α0 = (1/4)[∫_0^1 f(x)dx + f(1)]
α1 = (1/2)[∫_0^1 xf(x)dx - (f(1) - f(0))/4]
α2 = (1/4)[∫_0^1 (2x^2 - 1)f(x)dx + (f(0) - 2f(1))/3]

将系数带入g(x)的表达式中，即可求得最佳平方逼近多项式。

若取span{1, x, x2}，则最佳平方逼近多项式为：

h(x) = 3x - 1

希望能够帮到您，如有其他问题请随时提出。