3.使用Chebyshev定理求f(x)=5x^3-x^2+x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式

首先，我们需要将函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上均匀地划分为 $n=4$ 个区间，每个区间的长度为 $h=\frac{1-(-1)}{n}=\frac{1}{2}$。然后，我们选取每个区间的中点作为插值节点，即 $x_i=-1+(i+\frac{1}{2})h$，其中 $i=0,1,2,3$。

接下来，我们需要计算节点处的函数值 $f(x_i)$，得到以下表格：

| $i$ | $x_i$ | $f(x_i)$ |
|:-------:|:--------:|:--------:|
| 0 | -0.75 | -1.3164 |
| 1 | -0.25 | -0.7344 |
| 2 | 0.25 | 0.0166 |
| 3 | 0.75 | 3.2769 |

然后，我们需要计算每个节点处的最佳二次逼近多项式系数 $a_i$，根据Chebyshev定理有：

$$
a_i=\frac{2}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f(x_j)T_i(t_j),\quad i=0,1,2
$$

其中，$T_i(x)$ 表示第 $i$ 个Chebyshev多项式，$t_j=\cos\frac{(j+1/2)\pi}{n}$ 是Chebyshev节点。

因为 $n=4$，所以 $t_j=\cos\frac{(j+1/2)\pi}{4}$，计算得到 $t_0=\frac{\sqrt{2}}{2},t_1=0,t_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。然后我们可以计算出每个节点处的系数 $a_i$：

$$
\begin{aligned}
a_0&=\frac{1}{2}\left[f(x_0)+f(x_2)\right]-\frac{1}{2}f(x_1)=0.8415\\
a_1&=\frac{1}{2}\left[f(x_0)-f(x_2)\right]=1.0440\\
a_2&=\frac{1}{2}\left[f(x_0)-2f(x_1)+f(x_2)\right]=0.1147
\end{aligned}
$$

因此，最佳二次逼近多项式为：

$$
p_2(x)=0.8415T_0(x)+1.0440T_1(x)+0.1147T_2(x)
$$

其中，$T_i(x)$ 表示第 $i$ 个Chebyshev多项式，可以表示为：

$$
\begin{aligned}
T_0(x)&=1\\
T_1(x)&=x\\
T_2(x)&=2x^2-1
\end{aligned}
$$

将 $T_i(x)$ 代入上式，化简得：

$$
p_2(x)=0.8415+1.0440x+0.2294(2x^2-1)
$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最佳二次逼近多项式为：

$$
p_2(x)=0.2294x^2+1.0440x+0.6121
$$

可以使用 MATLAB 等数学软件进行验证。