使用 Chebyshev 定理 3.7 求 f(x)=5x^3-x^2+x-1 在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式

根据 Chebyshev 定理 3.7，最佳 $n$ 次逼近多项式可以表示为：

$$
p_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n} a_k T_k(x)
$$

其中 $T_k(x)$ 是第 $k$ 个 Chebyshev 多项式，定义为：

$$
T_k(x) = \cos(k \cos^{-1}(x)), \qquad -1 \leq x \leq 1
$$

我们要求的是最佳二次逼近多项式，即 $n=2$，因此有：

$$
p_2(x) = \frac{a_0}{2} + a_1 T_1(x) + a_2 T_2(x)
$$

接下来需要求出 $a_0, a_1, a_2$ 的值。根据最小二乘法，这些系数可以通过以下公式计算：

$$
\begin{aligned}
a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \\
a_k &= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{f(x) T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx, \qquad k=1, 2
\end{aligned}
$$

对于 $k \geq 3$，$T_k(x)$ 是奇函数，因此 $\int_{-1}^{1} f(x) T_k(x) dx = 0$。

现在我们来计算 $a_0, a_1, a_2$ 的值。首先计算 $a_0$：

$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{5x^3-x^2+x-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = 0
$$

这是因为 $f(x)$ 是一个奇函数，且 $[-1,1]$ 上的积分是对称的。

接下来计算 $a_1$：

$$
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{5x^3-x^2+x-1}{\sqrt{1-x^2}} \cos(\cos^{-1}(x)) dx \\
&= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} (5x^3-x^2+x-1) dx \\
&= -\frac{2}{\pi}
\end{aligned}
$$

最后计算 $a_2$：

$$
\begin{aligned}
a_2 &= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{5x^3-x^2+x-1}{\sqrt{1-x^2}} \cos(2 \cos^{-1}(x)) dx \\
&= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} (5x^3-x^2+x-1) \cos(2 \cos^{-1}(x)) dx \\
&= -\frac{8}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (5 \cos^3 \theta - \cos^2 \theta + \cos \theta - 1) \cos(2 \theta) d\theta \\
&= \frac{8}{\pi} \left[ \frac{10}{3} \sin^3 \theta - \sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) - \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{16}{3\pi}
\end{aligned}
$$

因此，最佳二次逼近多项式为：

$$
p_2(x) = -\frac{1}{\pi} + \frac{16}{3\pi} T_2(x) - \frac{a_0}{2} = -\frac{1}{\pi} + \frac{16}{3\pi} (2x^2 - 1) = \frac{32}{3\pi} x^2 - \frac{1}{\pi}
$$

最终答案为 $\frac{32}{3\pi} x^2 - \frac{1}{\pi}$。