(5)在区间[-5,5]上取Chebyshev零点xi=5cos((2i+1)/42)(i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)为插值节点,求f(x)=1/(1+x^2)的10次Langrange插值多项式,并画出插值图和误差分布图。

首先，我们可以定义一个函数来计算Chebyshev零点：

import numpy as np

def chebyshev_zeros(n):
    return 5 * np.cos((2 * np.arange(n) + 1) / (2 * n) * np.pi)

然后，我们可以使用这些节点来计算Langrange插值多项式：

import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    return 1 / (1 + x**2)

# 计算节点
x = chebyshev_zeros(10)

# 计算插值多项式
def langrange_polynomial(x, y):
    n = len(x)
    def p(t):
        s = 0
        for i in range(n):
            w = 1
            for j in range(n):
                if j != i:
                    w *= (t - x[j]) / (x[i] - x[j])
            s += y[i] * w
        return s
    return p

p = langrange_polynomial(x, f(x))

# 绘制插值图和误差分布图
xx = np.linspace(-5, 5, 1000)
yy = p(xx)
plt.plot(xx, yy, label='Interpolation')
plt.plot(xx, f(xx), label='f(x)')
plt.plot(x, f(x), 'o', label='Nodes')
plt.legend()
plt.show()

plt.plot(xx, f(xx) - yy)
plt.title('Error Distribution')
plt.show()

运行代码后，我们可以得到以下插值图和误差分布图：