切比雪夫多项式求解分数阶微分方程步骤
时间: 2023-07-01 19:06:34 浏览: 136
切比雪夫多项式求解分数阶微分方程的步骤如下:
1. 将分数阶微分方程化为标准形式
将分数阶微分方程变为标准形式:$D^{\alpha}y(x)=f(x)$,其中 $D^{\alpha}$ 表示分数阶导数算子,$y(x)$ 为未知函数,$f(x)$ 为已知函数,$\alpha$ 为分数阶指数。
2. 求出切比雪夫多项式
根据分数阶指数 $\alpha$ 和区间 $[0,1]$,求出切比雪夫多项式 $T_n(x)$。
3. 构造伴随方程
构造伴随方程:$D^{n-\alpha}p(x)=0$,其中 $n$ 为切比雪夫多项式的次数,$p(x)$ 为待定系数函数。
4. 求解伴随方程
求解伴随方程,得到 $n-\alpha$ 个线性无关的解 $p_1(x),p_2(x),\cdots,p_{n-\alpha}(x)$。
5. 求解齐次方程
求解齐次方程:$D^n y(x)=0$,得到 $n$ 个线性无关的解 $y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$。
6. 求解非齐次方程
根据待定系数法,假设非齐次方程的解为 $y^*(x)=\sum_{k=1}^{n-\alpha} q_k(x)p_k(x)$,其中 $q_k(x)$ 为待定函数。将 $y^*(x)$ 带入非齐次方程,求出 $q_k(x)$。
7. 求出通解
将 $y^*(x)$ 和 $y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$ 合并,得到分数阶微分方程的通解:$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)+y^*(x)$,其中 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 为常数。