t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 证明f是线性泛函,且||f||=1
时间: 2024-03-07 12:54:09 浏览: 24
首先,我们需要证明f是线性泛函。
设x1 = x(t1), x2 = x(t2) ∈ C[a,b],其中t1, t2 ∈ [a,b],k1, k2 ∈ R,则有:
f(k1x1 + k2x2) = (k1x1 + k2x2)(t0)
= k1x1(t0) + k2x2(t0)
= k1f(x1) + k2f(x2)
因此,f是线性泛函。
接着,我们需要证明||f||=1。
由于f是线性泛函,我们可以利用范数的定义来计算||f||:
||f|| = sup{||f(x)||/||x|| : x ∈ C[a,b], x ≠ 0}
对于任意的x = x(t) ∈ C[a,b],我们有:
||f(x)|| = ||x(t0)|| = sup{|x(t0)| : t ∈ [a,b]}
||x|| = sup{|x(t)| : t ∈ [a,b]}
因此,
||f(x)||/||x|| = sup{|x(t0)| : t ∈ [a,b]}/sup{|x(t)| : t ∈ [a,b]}
由于t0 ∈ [a,b],所以对于任意的x = x(t) ∈ C[a,b],均有|x(t0)| ≤ sup{|x(t)| : t ∈ [a,b]},因此,
||f(x)||/||x|| ≤ 1
另一方面,当x = x(t0) 时,有||x|| = |x(t0)|,因此,
||f(x)||/||x|| = 1
综上所述,||f||=1,证毕。
相关问题
t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 求||f||
根据范数的定义,有:
||f|| = sup||f(x)||
其中,sup表示上确界(即最小的上界)。对于任意的 x=x(t0)∈C[a,b],有:
||f(x)|| = ||x(t0)||
因为 x(t0) 是一个实数,所以它的模就是它本身。因此:
||f(x)|| = |x(t0)|
因为 t0∈[a,b],所以 |x(t0)| 的最大值就是 |x(b)| 或者 |x(a)|。因此:
||f|| = sup||f(x)|| = sup{|x(t0)|} = max{|x(b)|, |x(a)|}
综上所述,||f|| 的值等于函数 x 在区间 [a,b] 的端点处的模的最大值。
t0∈[a,b], f(x)=x(t0), 对任意x=x(t0)∈C[a,b], 计算||f||
根据范数的定义,有:
||f|| = sup||f(x)||
其中,sup表示上确界(即最小的上界)。对于任意的 x=x(t0)∈C[a,b],有:
||f(x)|| = ||x(t0)||
因为 x(t0) 是一个实数,所以它的模就是它本身。因此:
||f(x)|| = |x(t0)|
因为 t0∈[a,b],所以 |x(t0)| 的取值范围是 [min{|x(a)|, |x(b)|}, max{|x(a)|, |x(b)|}]。因此:
||f|| = sup||f(x)|| = sup{|x(t0)|} = max{|x(a)|, |x(b)|}
综上所述,||f|| 的值等于函数 x 在区间 [a,b] 的端点处的模的最大值。
相关推荐
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)
![pptx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083543.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)