||d(x)||=sup|d(x)|
时间: 2023-11-23 14:56:08 浏览: 41
根据引用的定义,对于向量z的对偶范数,有||z||* = sup{zTx: ||x|| ⩽ 1} = sup{zTx: ||x|| = 1}。因此,对于任意向量d(x),有||d(x)||* = sup{|d(x)|Tx: ||x|| ⩽ 1} = sup{|d(x)|Tx: ||x|| = 1}。因为|d(x)|是一个标量,所以|d(x)|Tx = d(x)Tx或-d(x)Tx,具体取决于d(x)的正负性。因此,||d(x)||* = sup{d(x)Tx: ||x|| = 1} = sup{-d(x)Tx: ||x|| = 1}。综上所述,||d(x)||* = sup{|d(x)|Tx: ||x|| = 1} = sup{d(x)Tx: ||x|| = 1} = sup{-d(x)Tx: ||x|| = 1}。
相关问题
设随机变量(x,y)在区域D=[0<x<2,0<y<2]内服从均匀分布,求,Z=xy的概率密度函数
同样地,可以通过变量变换法求出Z=xy的概率密度函数。
设变量变换为:
u = x
v = xy
则反函数为:
x = u
y = v/u
通过计算Jacobian行列式可以得到:
|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1 0| = 1
因此,有:
f<sub>UV</sub>(u,v) = f<sub>XY</sub>(x,y)|J| = 1/4
因为X和Y在D区域内服从均匀分布,所以它们的概率密度函数为:
f<sub>XY</sub>(x,y) = 1/(2×2) = 1/4
综上所述,Z=xy的概率密度函数为:
f<sub>Z</sub>(z) = ∫f<sub>UV</sub>(u,z/u)|du| = ∫<sub>0</sub><sup>2</sup>1/4×1/u|du| = 1/4×ln(2/z),其中0<z<4。
度量空间A中到一个非空集合的下确界是一个连续函数,由于 $A$ 和 $B$ 的关系是互补的,因此 $x$ 到 $B$ 的下确界可以表示为: $$\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$$吗
是的,这个结论是正确的。这个结论称为Hausdorff距离的定义,也可以被称为最远点距离定义。它在计算机视觉中被广泛应用于形状匹配和图像识别等领域。要证明这个结论,可以通过以下步骤:
首先,我们证明对于任意 $a\in A$ 和 $b\in B$,有 $d(x,b)\leq d(x,a)+d(a,b)$,其中 $d(x,b)$ 表示 $x$ 到 $b$ 的距离。 这可以通过三角不等式很容易地证明。
然后,我们可以得到:$$\begin{aligned}\inf_{b\in B}d(x,b) &=\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}\{d(x,a)-d(a,b)\} \\ &=\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}\{d(x,a)-d(a,b)\} \\ &\geq\sup_{a\in A}\{d(x,a)-\sup_{b\in B}d(a,b)\} \\ &=\sup_{a\in A}d(x,a)-\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}d(a,b) \\ &=\sup_{a\in A}d(x,a)-\inf_{a\in A}\sup_{b\in B}d(a,b)\end{aligned}$$
最后一个等式是因为 $A$ 和 $B$ 的关系是互补的,所以 $\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}d(a,b)=\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}d(a,b)$.
因此,我们得到:$$\inf_{b\in B}d(x,b)\geq\sup_{a\in A}d(x,a)$$
另一方面,对于任意 $\epsilon>0$,我们可以找到一个 $b\in B$,使得 $d(x,b)\leq\inf_{b\in B}d(x,b)+\epsilon$。因此,我们有:$$\begin{aligned}\sup_{a\in A}d(x,a)&\geq d(x,b)-d(a,b) \\ &\geq d(x,b)-\epsilon \\ &\geq\inf_{b\in B}d(x,b)-\epsilon\end{aligned}$$
由于 $\epsilon$ 的任意性,我们得到:$$\sup_{a\in A}d(x,a)\geq\inf_{b\in B}d(x,b)$$
综上所述,我们证明了下确界的等式:$$\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$$