||d(x)||=sup|d(x)|

根据引用的定义，对于向量z的对偶范数，有||z||* = sup{zTx: ||x|| ⩽ 1} = sup{zTx: ||x|| = 1}。因此，对于任意向量d(x)，有||d(x)||* = sup{|d(x)|Tx: ||x|| ⩽ 1} = sup{|d(x)|Tx: ||x|| = 1}。因为|d(x)|是一个标量，所以|d(x)|Tx = d(x)Tx或-d(x)Tx，具体取决于d(x)的正负性。因此，||d(x)||* = sup{d(x)Tx: ||x|| = 1} = sup{-d(x)Tx: ||x|| = 1}。综上所述，||d(x)||* = sup{|d(x)|Tx: ||x|| = 1} = sup{d(x)Tx: ||x|| = 1} = sup{-d(x)Tx: ||x|| = 1}。

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\sup_{a\in A}{d(x,a)-\sup_{b\in B}d(a,b)} \ &= \sup_{a\in A}d(x,a)-\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}d(a,b) \什么意思

这是一个数学公式，表示左侧是一个关于集合 $A$ 和 $B$ 中点的距离和集合 $B$ 中点与集合 $A$ 中所有点的距离的最大值的函数，右侧是这个函数的一个等价形式。其中 $d(x,a)$ 表示点 $x$ 到点 $a$ 的距离，$\sup$ 表示上确界，$\inf$ 表示下确界。这个公式可以用于度量集合 $A$ 和 $B$ 之间的差异程度。

$$\sup_{a \in A} \sup_{b \in B} (d(x,a) - d(a,b)) \geq \sup_{a \in A} \Big(\sup_{b \in B} (d(x,a) - d(x,b))\Big) \geq -\inf_{b \in B} \sup_{a \in A} d(a,b)$$数学语言

这个式子可以用数学语言来表示为：

$$\forall x \in X, A,B \subset X, \sup_{a \in A} \sup_{b \in B} (d(x,a) - d(a,b)) \geq \sup_{a \in A} \Big(\sup_{b \in B} (d(x,a) - d(x,b))\Big) \geq -\inf_{b \in B} \sup_{a \in A} d(a,b)$$

其中，$X$ 是一个度量空间，$d(x,a)$ 表示 $x$ 到 $a$ 的距离，$A$ 和 $B$ 是 $X$ 中的两个子集。这个式子说明，对于任意 $x \in X$，在 $A$ 中取一个点 $a$，在 $B$ 中取一个点 $b$，计算 $x$ 到 $a$ 的距离减去 $a$ 到 $b$ 的距离的最大值，得到的结果不小于在 $B$ 中取一个点 $b$，计算 $x$ 到 $b$ 的距离减去在 $A$ 中取一个点 $a$，计算 $x$ 到 $a$ 的距离的最大值，再取这些最大值中的最小值，且不小于 $-\inf_{b \in B} \sup_{a \in A} d(a,b)$。这个式子的意义在于度量集合 $A$ 和 $B$ 之间的差异程度。